【洛谷】xht模拟赛 题解

前言

大家期待已久并没有的题解终于来啦~

这次的T1和HAOI2016撞题了...深表歉意...表示自己真的不知情...

天下的水题总是水得相似，神题各有各的神法。——《安娜·卡列妮娜》

出题的过程：@PhoenixEclipse @xht13127提供了一些想法，我负责写标程，对拍，造数据...然后 @SakuraDance帮我验了题。感谢上述，以及其他几位dalao的资辞。

题解

T1

和HAOI2016撞车 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4562

30分做法：直接爆搜，注意取模。

100分做法：topo排序然后简单dp，或者直接爆搜加个记忆化...（如果是记忆化，记得不要用0来表示未访问的点QwQ）

T2

wyw神犇提出了一种\(O(\sqrt N)\)的做法，太神啦！详见：http://blog.csdn.net/FSAHFGSADHSAKNDAS/article/details/60475362

一道披着几何外衣的数学题~

问题可以转化为，对 \(a\le i\le b\) ，所有 \(xyz=i\) 的所有整数解\((x,y,z)\) , 求\((|x|+|y|+|z|)^2\) 的和。

由于对称性，所以我们只需要算第一卦限（\(x,y,z>0\)）的答案，再乘4就行啦。

30分做法：暴力枚举\(i\)，再暴力枚举满足\(xyz=i\) 的 \(x,y,z\)，然后暴力计算答案。

60分做法：

首先，我们可以用\([1,b]\) 的答案减去 \([1,a-1]\) 的答案。

然后注意到\((x+y+z)^2=(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+zx)\) ， 其中两个括号里的三项都是对称式。于是我们可以单独算出所有的\(x^2\) 和 \(yz\) 对答案的贡献，再把前者加上后者乘2。

接下来推式子...公式恐惧症请做好心理准备。

设\(\sigma(n)\) 等于n的约数个数；

\[\begin{aligned}
\\ans1=&\sum_{i=1}^N\sum_{xyz=i}x^2
\\=&\sum_{i=1}^N\sum_{x|i}x^2\sum_{yz=\frac i x}
\\=&\sum_{i=1}^N\sum_{x|i}x^2\sigma(\frac i x)
\\=&\sum_{x=1}^N x^2\sum_{x|i}\sigma(\frac i x)
\\=&\sum_{x=1}^N x^2\sum_{d\le \lfloor N/x\rfloor}\sigma(d)
\end{aligned}
\]

\[\begin{aligned}
\\ans2=&\sum_{i=1}^N\sum_{xyz=i}yz
\\=&\sum_{i=1}^N\sum_{x|i}\sum_{yz=\frac i x}yz
\\=&\sum_{i=1}^N\sum_{x|i}\frac i x\sigma(\frac i x)
\\=&\sum_{i=1}^N\sum_{x|i}x\sigma(x)
\\=&\sum_{x=1}^N x\sigma(x)\lfloor \frac N x \rfloor
\end{aligned}
\]

\(ans=4*(ans1+2*ans2)\)

对于ans1，因为\(\lfloor \frac N x \rfloor\) 只有\(\sqrt N\) 种取值， 我们可以用一种经典的方法分段计算，再对后面的前缀和预处理出来，或者暴力求和，这样可以做到O(N)。

对于ans2，同样分段计算，再预处理\(x\sigma(x)\) 的前缀和，也是O(N)。

总复杂度：O(N)。如果你喜欢用一种NlgN的方法筛约数个数...那就是O(NlgN)。

现场有一位大爷用了筛法也过了60分，orz。

100分做法：

在60分做法的基础上，用杜教筛求\(\sigma(x)\) 和 \(x\sigma(x)\) 的前缀和，复杂度O(N^(2/3))。

详见唐老师博客：http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009

T3

被喷是裸的数据结构题了啊...

观察题目中的要求，将变量看做点，方程看做边，只会形成一棵树。

30分做法：因为只有询问操作，我们先读入所有数据，建一棵树，每条边用两条有向边表示，权值分别为c和-c，然后dfs一遍，预处理出lca（或者你要树剖也行），然后处理询问。

100分做法：发现只要用LCT维护就行了。几个细节：边权不好维护，那么我们就插入虚拟的点来表示边。在询问一条链的时候，要求链上的方程是x1-x2=a, x2-x3=b, x3-x4=c...这样的形式，即要求符号的方向相同。我们可以让每条边上的方程表示子节点减父节点的值，然后换根的时候，发现只有新的根到原来的根的路径上的顺序要颠倒，于是在access的splaytree里面打一个tag取反。具体实现见代码。

代码

T1

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=1e5+5, MD=10007;
int in[MAXN], deg[MAXN], to[MAXN][10], K[MAXN], N;
int p[MAXN], M, f[MAXN], ans;
int read()
{
    int r=0, c=getchar();
    while(c<'0'||'9'<c) c=getchar();
    while('0'<=c&&c<='9') r=r*10+c-'0', c=getchar();
    return r;
}
int main()
{
    scanf("%d", &N);
    for(int i=1; i<=N; ++i){
        K[i]=read();
        for(int j=0; j<K[i]; ++j) in[to[i][j]=read()]++;
    }
    for(int i=1; i<=N; ++i)
        if(!in[i]) f[p[M++]=i]=1;
    for(int i=0; i<M; ++i){
        int u=p[i];
        for(int j=0; j<K[u]; ++j){
            int v=to[u][j];
            if(!(--in[v])) p[M++]=v;
        }
    }
    for(int i=0; i<M; ++i){
        int u=p[i];
        for(int j=0; j<K[u]; ++j){
            int v=to[u][j];
            f[v]=(f[v]+f[u])%MD;
        }
        if(!K[u]) ans=(ans+f[u])%MD;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

T2

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 5e6+5, MD=10007;
int pr[MAXN], f[MAXN], g[MAXN], np, M;
short ip[MAXN];
void pre()
{
    ip[1]=f[1]=1;
    for(int i=2; i<M; ++i){
        if(!ip[i]) pr[np++]=i, f[i]=2, g[i]=1;
        for(int j=0, k, p; j<np; ++j){
            p=pr[j], k=i*p;
            if(k>=M) break;
            ip[k]=1;
            if(i%p==0){
                f[k]=f[i]/(g[i]+1)*(g[i]+2);
                g[k]=g[i]+1;
                break;
            }
            f[k]=f[i]*2;
            g[k]=1;
        }
    }
    for(int i=1; i<M; ++i){
        f[i]%=MD;
        g[i]=(i*f[i]+g[i-1])%MD;
        f[i]=(f[i]+f[i-1])%MD;
    }
}
int F(int n)
{
    if(n<M) return f[n];
    int r=0;
    for(int i=1, j; i<=n; i=j+1){
        int t=n/i; j=n/t;
        r=(r+(ll)(j-i+1)*t)%MD;
    }
    return r;
}
int G(int n)
{
    if(n<M) return g[n];
    int r=0;
    for(int i=1, j; i<=n; i=j+1){
        int t=n/i; j=n/t;
        r=(r+((ll)(i+j)*(j-i+1)/2%MD)*t*(t+1)/2)%MD;
    } return r;
}
int work(int n)
{
    int l=0, c=0, r1=0, r2=0;
    for(ll i=1, j; i<=n; i=j+1){
        j=n/(n/i); c=(ll)j*(j+1)%MD*(2*j+1)*1668%MD;
        r1=(r1+(ll)(c-l+MD)*F(n/i))%MD; l=c;
    }
    l=0;
    for(ll i=1, j; i<=n; i=j+1){
        j=n/(n/i); c=G(j);
        r2=(r2+(ll)(c-l+MD)*(n/i))%MD; l=c;
    }
    return (r1+r2*2)*12%MD;
}
int main()
{
    int a, b;
    scanf("%d%d", &a, &b);
    for(M=0; M*M*M<=b; M++);
    M=min(MAXN, M*M);
    pre();
    printf("%d\n", (work(b)-work(a-1)+MD)%MD);
    return 0;
}

T3

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 3e5+5, MD=6662333;
struct Node
{
    Node *ch[2], *fa;
    int rev, inv, w, sum;
}tr[MAXN], *nil=tr;
inline void init(int x)
{
    tr[x].ch[0]=tr[x].ch[1]=tr[x].fa=nil;
}
inline void up(Node *x)
{
    Node *l=x->ch[0], *r=x->ch[1];
    x->sum=x->w+l->sum+r->sum;
}
inline void down(Node *x)
{
    Node *l=x->ch[0], *r=x->ch[1];
    if(x->inv){
        l->inv^=1; l->sum=-l->sum; l->w=-l->w;
        r->inv^=1; r->sum=-r->sum; r->w=-r->w;
        x->inv=0;
    }
    if(x->rev){
        l->rev^=1; r->rev^=1;
        swap(x->ch[0], x->ch[1]);
        x->rev=0;
    }
}
inline int isrt(Node *x){return !(x->fa->ch[0]==x||x->fa->ch[1]==x);}
void rot(Node *x)
{
    Node *y=x->fa, *z=y->fa; int l=y->ch[1]==x, r=!l;
    if(!isrt(y)) z->ch[z->ch[1]==y]=x;
    x->ch[r]->fa=y; y->fa=x; x->fa=z;
    y->ch[l]=x->ch[r]; x->ch[r]=y;
    up(y); up(x);
}
Node *st[MAXN]; int top;
void splay(Node *x)
{
    st[top=0]=x;
    for(Node *u=x; !isrt(u); u=u->fa) st[++top]=u->fa;
    while(top>=0) down(st[top--]);
    while(!isrt(x)){
        Node *y=x->fa, *z=y->fa;
        if(!isrt(y)) rot((z->ch[1]==y)^(y->ch[1]==x)?x:y);
        rot(x);
    }
}
void access(Node *x)
{
    for(Node *t=nil; x!=nil; t=x, x=x->fa)
        splay(x), x->ch[1]=t, up(x);
}
void mkrt(Node *x)
{
    access(x); splay(x);
    x->rev^=1; x->inv^=1; x->sum=-x->sum; x->w=-x->w;
}
void lnk(Node *x, Node *y)
{
    mkrt(x); x->fa=y;
}
void cut(Node *x, Node *y)
{
    mkrt(x); access(y); splay(y);
    x->fa=y->ch[0]=nil;
}
Node *getrt(Node *x)
{
    while(x->fa!=nil) x=x->fa;
    return x;
}
int N, M, K, Q, ne;
inline int xht(int x){return x>0?x%K:(K-(-x)%K)%K;}
int ha[MAXN], hb[MAXN], he[MAXN], nxt[MAXN], hd[MD], nh=1;
void add(int a, int b, int e)
{
    int k=((ll)a*b+a+b)%MD;
    ha[nh]=a; hb[nh]=b; he[nh]=e; nxt[nh]=hd[k]; hd[k]=nh++;
}
int del(int a, int b)
{
    int k=((ll)a*b+a+b)%MD;
    for(int i=hd[k], j=0; i; i=nxt[i], j=i){
        if((ha[i]==a&&hb[i]==b)||(ha[i]==a&&hb[i]==b)){
            if(!j) hd[k]=nxt[i];
            else nxt[j]=nxt[i];
            return he[i];
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d", &N, &M, &K, &Q);
    ne=N+1;
    for(int i=0; i<=N+M+Q; ++i) init(i);
    for(int i=0; i<M; ++i){
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
    //    G[a][b]=G[b][a]=ne;
        add(a, b, ne);
        tr[ne].w=tr[ne].sum=c;
        lnk(tr+a, tr+ne); lnk(tr+ne, tr+b);
        ne++;
    }
    for(int i=0; i<Q; ++i){
        int t, a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &t, &a, &b);
        if(t==1){
            scanf("%d", &c);
        //    G[a][b]=G[b][a]=ne;
            add(a, b, ne);
            tr[ne].w=tr[ne].sum=c;
            lnk(tr+a, tr+ne); lnk(tr+ne, tr+b);
            ne++;
        }else if(t==2){
        //    int e=G[a][b];
            int e=del(a, b);
            if(e){
                cut(tr+a, tr+e); cut(tr+e, tr+b);
            //    G[a][b]=G[b][a]=0;
            }
        }else{
            scanf("%d", &c);
            if(getrt(tr+a)==getrt(tr+b)){
                mkrt(tr+a); access(tr+b); splay(tr+b);
                printf("%d\n", xht(c-tr[b].sum));
            }else puts("-1");
        }
    }
    return 0;
}