快速沃尔什变换（FWT）学习笔记

概述

FWT的大体思路就是把要求的 C(x)=A(x)×B(x)  即 \( c[i]=\sum\limits_{j?k=i} (a[j]*b[k]) \) 变换成这样的：\( c^{'}[i]=a^{'}[i]*b^{'}[i] \)。

只要知道 c'[ i ] 和 c[ i ] 的关系，就能把 A(x)、B(x) 变成 A'(x)、B'(x) ，从而算出 C'(x) ，再把 C'(x) 变成 C(x)。

或卷积

定义\( c^{'}[i]=\sum\limits_{j | i=i} c[j] \)，则\( c^{'}[i]=a^{'}[i]*b^{'}[i] \)

　　证明：\( c^{'}[i]=\sum\limits_{j | i=i} c[j] \)

　　　　　因为\( c[i]=\sum\limits_{j|k=i}a[j]*b[k] \)

　　　　　所以 \( c^{'}[i]=\sum\limits_{(j|k)|i=i}a[j]*b[k] \)

　　　　　　　　　   \( =\sum\limits_{(j|k)|i=i}a[j]*b[k]=\sum\limits_{j|i=i}a[j] * \sum\limits_{k|i=i}b[k] \)

　　　　　又有：\( a^{'}[i]=\sum\limits_{j|i=i}a[j] \)　　\( b^{'}[i]=\sum\limits_{j|i=i}b[j] \)

　　　　　所以\( c^{'}[i]=a^{'}[i]*b^{'}[i] \)

接下来考虑怎么把 A(x) 变成 A'(x) 。

考虑按位来做，比如从低位到高位枚举，则每一部分左边一半的该位全是0、右边一半的该位全是1；记左边为A0，右边为A1。

如：00001111

　　00110011

　　01010101

　　如果已经算好了A0和A1，考虑用它们求出A。比如算好了第 1~2 位置的值A0和第 3~4 位置的值A1，想求第 1~4 位置的值A；（那么现在是枚举到了二进制第二位了）

　　此时的A0里没有A1位置对它的贡献，A1里也没有A0位置对它的贡献；考虑两部分位置的值怎样互相贡献；

　　考虑左边和右边的对应位置，它们只有最高位一个是0一个是1的不同；则是左边对应位置的子集的位置一定也是右边对应位置的子集，可以这样做：A0' = A0，A1' = A0+A1

　　所以模仿FFT的框架写一个就行了。（感觉这里求 \( \sum\limits_{j|i=i}a[j] \) 的思路和高维前缀和很像）

　　但不用弄那个 r[ ] 来换位置（因为不是弄偶数项和奇数项，而是真的前半部分和后半部分）；不过就算换了位置也可以！

　　　　因为那样换一下位置相当于是每个位置的角标被翻转了，比如上面那8个位置的角标会变成：

　　　　01010101

　　　　00110011

　　　　00001111

　　　　这样的话，自己“从低位到高位枚举”可以看作从高位到低位枚举，一切就没问题了。主要是因为位运算每一位是独立的嘛。

它的逆变换是这样想：因为 A0' = A0，A1' = A0+A1；所以 A0 = A0'，A1 = A1'-A0 = A1'-A0'。刚才是从低位到高位枚举的话，现在要从高位到低位枚举。

　　但其实还是从低位到高位枚举也是对的！

　　考虑一个位置k，它加上的那些 “对应位置” j 的特点是 j 只和 k 有一位不同。比如从低到高枚举到第3位的时候 k 位置的值加上了 j 位置的值，说明二进制第3位上 j 是0、k是1，第3位之前 j 和 k 一样（因为“对应”嘛），而第3位之后 j 和 k 其实也一样（因为第3位之后 j 和 k 就变成“一块"里的了，再高的位会一起变成0或1之类的）；

　　从 A'(x) 变回 A(x) 的过程中，比如第一步的时候，每个 a[ i ] 都记录着所有 角标是 i 子集的a的权值和 ；

　　从低到高枚举到第一个 k 是1的位置（除了最低位），比如是第3位，则此时 a'[ k ] - a'[ j ] 减去的值是 “角标第3位是0、其余部分是 k 的子集” 的那些位置的值；剩下的就是 “角标第3位是1、其余部分是 k 的子集” 的值。

　　接下来枚举到下一个 k 是1的位置，比如是第5位；因为 j 的其它位上的值都和 k 一样，所以此时 j 也是经历过第3位时的一番操作；则此时 a'[ k ] - a'[ j ] 减去的值是“角标第3位是1、第5位是0、其余部分是 k 的子集”的那些位置的值；则 a'[ k ] 剩下的值是 “角标第3位是1、第5位是1、其余部分是 k 的子集” 的位置的值；

　　这样一直枚举到最后，剩下的就是 “角标在 k 是1的位上是1、其余位上是 k 的自己” 位置的值，即只剩正好的 a[ k ] 了，于是此时 a'[ k ] = a[ k ] 。

与卷积

和或卷积一样。变换：A0'=A0+A1，A1'=A1　　逆变换：A0 = A0'-A1 = A0'-A1'，A1=A1'

异或卷积

定义 \( c^{'}[i]=\sum\limits_{j \& i有偶数个1} c[j] - \sum\limits_{j \& i有奇数个1} c[j] \)

考虑证明 \( c^{'}[i]=a^{'}[i]*b^{'}[i] \)

　　证明：因为 \( c[i]=\sum\limits_{j \otimes k=i} a[j]*b[k] \)

　　　　　所以 \( c^{'}[i]=\sum\limits_{ (j \otimes k)与 i 有偶数个1重合 } a[j]*b[k] - \sum\limits_{ (j \otimes k)与 i 有奇数个1重合 } a[j]*b[k] \)

　　　　　又 \( a^{'}[i]*b^{'}[i] = ( \sum\limits_{j \& i有偶数个1}a[j] - \sum\limits_{j \& i有奇数个1}a[j] ) * ( \sum\limits_{j \& i有偶数个1}b[j] - \sum\limits_{j \& i有奇数个1}b[j] ) \)

　　　　　　　　　　　　  \( = \sum\limits_{j \& i有偶数个1}a[j]*b[j] + \sum\limits_{j \& i有奇数个1}a[j]*b[j] - \sum\limits_{j \& i有偶数个1,k \& i有奇数个1}a[j]*b[k] - \sum\limits_{j \& i有奇数个1,k \& i有偶数个1}a[j]*b[k] \)

　　　　　　　　　　　　  \( = \sum\limits_{j \& i与k \& i的1的个数奇偶性相同}a[j]*b[k] - \sum\limits_{j \& i与k \& i的1的个数奇偶性不同}a[j]*b[k] \)

　　　　　　　　　　　　  \( = \sum\limits_{(j \otimes k)与 i 有偶数个1重合}a[j]*b[k] - \sum\limits_{(j \otimes k)与 i 有奇数个1重合}a[j]*b[k] \)

　　　　　（这一步等价是因为异或的时候，如果 j 和 k 有公共位置的1，那么一次会消掉2个1；所以 ( (j&i)的1的个数 + (k&i)的1的个数 ) 在 j 和 k 异或之后奇偶性不会变）

　　　　　所以 \( c^{'}[i]=a^{'}[i]*b^{'}[i] \)

接下来考虑怎么把A(x)变成A'(x)。

　　还是有前一半的A0和后一半的A1。对应位置 & 起来之后，那个最高位还是0；

　　所以对于A0里的一个a[ i ]来说，记和它 & 起来的那些位置 j （其实 j 遍历了所有A0里的位置）在A1里的对应位置为 j' ，则 j & i == j' & i；所以A0'=A0+A1；

　　而对于A1里的一个a[ i ]来说，算A1的时候A1的标号的最高位还没被考虑（即视作0），合并的时候A1的最高位变成1了；设 i 在A1的 & 起来的那些位置 j 在A0里的对应位置为 j'，则 j & i 比 j' & i 多了一个1（最高位即当前枚举到的位），所以当 i 和A1里的 j 匹配时，单独算A1时算好的 a[ i ] = sigma - sigma 里的两个 sigma 的位置换了一下，也就是符号变了；所以A1'=A0-A1。

它的逆变换就是：A0=(A0'+A1')/2，A1=(A0'-A1')/2。

关于实现方法的讨论就和或卷积一样。

模板

洛谷4717 【模板】快速沃尔什变换

题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4717

不知为何跑得很慢。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=(<<)+,mod=;
int n,a[][N],b[][N],c[][N],len,r[N],inv;
int rdn()
{
  int ret=;bool fx=;char ch=getchar();
  while(ch>''||ch<''){if(ch=='-')fx=;ch=getchar();}
  while(ch>=''&&ch<='') ret=(ret<<)+(ret<<)+ch-'',ch=getchar();
  return fx?ret:-ret;
}
int g[];
void wrt(int x)
{
  if(x<)putchar('-'),x=-x;
  if(!x){printf("0 ");return;}
  int t=;while(x)g[++t]=x%,x/=;
  while(t)putchar(g[t]+''),t--;putchar(' ');
}
void upd(int &x){x>=mod?x-=mod:;}
void fwt0(int *a,bool fx)
  for(int R=;R<=len;R<<=)
    for(int i=,m=R>>;i<len;i+=R)
      for(int j=;j<m;j++)
    (fx?a[i+m+j]+=mod-a[i+j]:a[i+m+j]+=a[i+j]),upd(a[i+m+j]);
}
void fwt1(int *a,bool fx)
  for(int R=;R<=len;R<<=)
    for(int i=,m=R>>;i<len;i+=R)
      for(int j=;j<m;j++)
    (fx?a[i+j]+=mod-a[i+m+j]:a[i+j]+=a[i+m+j]),upd(a[i+j]);
}
void fwt2(int *a,bool fx)
  for(int R=;R<=len;R<<=)
    {
      for(int i=,m=R>>;i<len;i+=R)
    for(int j=;j<m;j++)
      {
        int x=a[i+j]+a[i+m+j],y=a[i+j]+mod-a[i+m+j];
        upd(x); upd(y);
        fx?(x=(ll)x*inv%mod,y=(ll)y*inv%mod):;
        a[i+j]=x; a[i+m+j]=y;
      }
    }
}
int main()
{
  n=(<<rdn());
  for(int i=;i<n;i++)a[][i]=a[][i]=a[][i]=rdn();
  for(int i=;i<n;i++)b[][i]=b[][i]=b[][i]=rdn();
  len=n<<;
  for(int i=;i<len;i++)r[i]=(r[i>>]>>)+((i&)?len>>:);
  int k=mod-,tmp=;inv=;
  while(k){if(k&)inv=(ll)inv*tmp%mod;tmp=(ll)tmp*tmp%mod;k>>=;}
  fwt0(a[],); fwt0(b[],); fwt1(a[],); fwt1(b[],); fwt2(a[],); fwt2(b[],);
  for(int t=;t<;t++)
    for(int i=;i<len;i++)
      c[t][i]=(ll)a[t][i]*b[t][i]%mod;
  fwt0(c[],); fwt1(c[],); fwt2(c[],);
  for(int t=;t<;t++,puts(""))
    for(int i=;i<n;i++)wrt(c[t][i]);
  return ;
}