BZOJ3130: [Sdoi2013]费用流(二分，最大流)

Description

Alice和Bob在图论课程上学习了最大流和最小费用最大流的相关知识。
最大流问题：给定一张有向图表示运输网络，一个源点S和一个汇点T，每条边都有最大流量。一个合法的网络流方案必须满足：(1)每条边的实际流量都不超过其最大流量且非负；(2)除了源点S和汇点T之外，对于其余所有点，都满足该点总流入流量等于该点总流出流量；而S点的净流出流量等于T点的净流入流量，这个值也即该网络流方案的总运输量。最大流问题就是对于给定的运输网络，求总运输量最大的网络流方案。

上图表示了一个最大流问题。对于每条边，右边的数代表该边的最大流量，左边的数代表在最优解中，该边的实际流量。需要注意到，一个最大流问题的解可能不是唯一的。对于一张给定的运输网络，Alice先确定一个最大流，如果有多种解，Alice可以任选一种；之后Bob在每条边上分配单位花费（单位花费必须是非负实数），要求所有边的单位花费之和等于P。总费用等于每一条边的实际流量乘以该边的单位花费。需要注意到，Bob在分配单位花费之前，已经知道Alice所给出的最大流方案。现茌Alice希望总费用尽量小，而Bob希望总费用尽量大。我们想知道，如果两个人都执行最优策略，最大流的值和总费用分别为多少。

Input

第一行三个整数N，M，P。N表示给定运输网络中节点的数量，M表示有向边的数量，P的含义见问题描述部分。为了简化问题，我们假设源点S是点1，汇点T是点N。
接下来M行，每行三个整数A，B，C，表示有一条从点A到点B的有向边，其最大流量是C。

Output

第一行一个整数，表示最大流的值。
第二行一个实数，表示总费用。建议选手输出四位以上小数。

Sample Input

3 2 1
1 2 10
2 3 15

Sample Output

10
10.0000

解题思路：

第一问不说了。

Alice、Bob都上了，那不是裸的博弈论吗？

第二问，根据博弈论贪心Bob会将全部的花费都花在最大边上，也就是最大流量上。

根据贪心性质，减小边容量并不会增大最大流（废话）

所以只需要二分最大花费的大小，然后全图限制流量不超过最大流量。

这时只需要再跑一遍Dinic检查最大流是否变化就好了。

代码：

 #include<queue>

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 const double oo=(double)(0x3f3f3f3f);

 const double eps=1e-;

 struct pnt{

     int hd;

     int lyr;

     int now;

 }p[];

 struct ent{

     int twd;

     int lst;

     double vls;

     double his;

 }e[];

 int cnt;

 int n,m;

 int s,t;

 std::queue<int>Q;

 void ade(int f,int t,double v)

 {

     cnt++;

     e[cnt].twd=t;

     e[cnt].vls=v;

     e[cnt].his=v;

     e[cnt].lst=p[f].hd;

     p[f].hd=cnt;

     return ;

 }

 bool Bfs(void)

 {

     while(!Q.empty())Q.pop();

     for(int i=;i<=t;i++)

         p[i].lyr=;

     p[s].lyr=;

     Q.push(s);

     while(!Q.empty())

     {

         int x=Q.front();

         Q.pop();

         for(int i=p[x].hd;i;i=e[i].lst)

         {

             int to=e[i].twd;

             if(p[to].lyr==&&e[i].vls>eps)

             {

                 p[to].lyr=p[x].lyr+;

                 if(to==t)

                     return true;

                 Q.push(to);

             }

         }

     }

     return false;

 }

 double Dfs(int x,double fll)

 {

     if(x==t)

         return fll;

     for(int& i=p[x].now;i;i=e[i].lst)

     {

         int to=e[i].twd;

         if(p[to].lyr==p[x].lyr+&&e[i].vls>eps)

         {

             double ans=Dfs(to,std::min(fll,e[i].vls));

             if(ans>eps)

             {

                 e[i].vls-=ans;

                 e[((i-)^)+].vls+=ans;

                 return ans;

             }

         }

     }

     return 0.00;

 }

 double Dinic(void)

 {

     double ans=0.00;

     while(Bfs())

     {

         for(int i=;i<=t;i++)

             p[i].now=p[i].hd;

         double dlt;

         while((dlt=Dfs(s,oo))>eps)

             ans+=dlt;

     }

     return ans;

 }

 bool check(double maxflow,double x)

 {

     for(int i=;i<=cnt;i++)

         e[i].vls=std::min(e[i].his,x);

     double ans=Dinic();

     return maxflow-ans<=eps;

 }

 int main()

 {

 //    freopen("a.in","r",stdin);

     double pri;

     scanf("%d%d",&n,&m);

     s=,t=n;

     scanf("%lf",&pri);

     for(int i=;i<=m;i++)

     {

         int a,b;

         double c;

         scanf("%d%d",&a,&b);

         scanf("%lf",&c);

         ade(a,b,c);

         ade(b,a,);

     }

     double maxflow=Dinic();

     printf("%.0lf\n",maxflow);

     double l=0.00,r=oo;

     while(r-l>eps)

     {

         double mid=(l+r)/2.00;

         if(check(maxflow,mid))

             r=mid;

         else

             l=mid;

     }

     printf("%.4lf\n",pri*l);

     return ;

 }