洛谷3317 SDOI2014重建（高斯消元+期望）

qwq

一开始想了个错的做法。

哎

直接开始说比较正确的做法吧。

首先我们考虑题目的\(ans\)该怎么去求

我们令\(x\)表示原图中的某一条边

\[ans = \sum \prod_{x\in tree} p_x \prod_{x\ not\in tree} (1-p_x)
\]

qwq而根据矩阵树定理，我们可以求出来所有生成树的边权乘积的和，也就是前一部分。

现在我们考虑应该怎么优化第二部分。

qwq

我们经过推理能发现，我们可以用总的除去在生成树里面的求出来不在生成树里面的。

也就是说

\[\prod_{x\ not \in tree} (1-p_x)= \frac{\prod (1-p_i)}{\prod_{x\in tree} (1-p_j)}
\]

我们带回原柿，然后把\(\prod (1-p_i)\)提出来

\[ans = \prod (1-p_x) \times \sum \prod_{x \in tree} \frac{p_x}{1-p_x}
\]

那么现在，对于后面那一项，我们只需要把所有的边都设成权值是\(\prod_{x \in tree} \frac{p_x}{1-p_x}\)

然后每个\(d[i]\)表示与他连接的所有边权的和。

直接跑矩阵树定理就能求出来\(sum\)啦，然后直接用一开始求的\(\prod p_x\)，一减就OK了

但是这里有一个需要注意的地方就是当\(p_x\)等于\(1\)的时候，我们应该将他的权值设成\(1-eps\)

因为当\(p\)等于1的时候，\(\frac{1}{1-p} -> inf\)

然后有因为\(\frac{1}{eps}->inf\)

所以\(p=1-eps\)

然后弄完权值直接跑矩阵树定理就好

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define mk make_pair
#define ll long long
#include<ctime>
using namespace std;
inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}
const int maxn = 110;
const double eps = 1e-6;
double a[maxn][maxn];
double d[maxn];
int n;
double ans=1;
void gauss()
{
	int k=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		int now = k;
		while(now<=n && fabs(a[now][i])<=eps)  now++;
		if (now==n+1) continue;
		for (int j=1;j<=n+1;j++) swap(a[now][j],a[k][j]);
		for (int j=1;j<=n;j++)
		{
			if (j!=k)
			{
				double t = a[j][i]/a[k][i];
				for (int p=1;p<=n+1;p++) a[j][p]-=t*a[k][p];
			}
		}
		++k;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
	  ans=ans*a[i][i];
}
double ymh=1;
int main()
{
  n=read();
  for (int i=1;i<=n;i++)
    for (int j=1;j<=n;j++)
    {
    	double x;
    	scanf("%lf",&x);
    	if (x==1) x = 1-eps;
		if (i<j) ymh=ymh*(1-x);
    	x=x/(1-x);
    	a[i][j]=-x;
    	d[i]+=x;
    	//d[j]+=x;
	}
  for (int i=1;i<=n;i++) a[i][i]=d[i];
  gauss();
  printf("%.5lf",ans*ymh);
  return 0;
}