P2943 [USACO09MAR]Cleaning Up G

一句话题意：将一个数列分成若干段，每段的不和谐度为该段内不同数字数量的平方，求不和谐度之和的最小值。

令 \(f_i\) 表示前 \(i\) 个数的最小答案，很容易就能写出暴力转移方程：\(f_i=\min\{f_j+sum(j,i)\}(0\leq j<i)\)。\(sum(j,i)\) 表示 \(j\sim i\) 中不同数字的数量。

这样做是 \(n^2\) 的，考虑优化。发现 \(f\) 数组是单调不降的，在 \(sum(j,i)\) 相同时，\(j\) 取最小最优。继续推性质，发现答案最大是 \(n\)（每个数都分一段），所以 \(sum(j,i)\) 最大取 \(\lfloor\sqrt n\rfloor\) 否则显然不优。

然后就很简单了，我们对于 \(sum(j,i)\) 的每种取值都维护 \(j\) 的最小值即可。

所以做题要多推推性质啦。

时间复杂度 \(O(n\sqrt n)\)~

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 40005
#define Db double
#define Min(x,y)((x)<(y)?x:y)
#define For(i,x,y)for(i=x;i<=(y);i++)
int f[N],last[N],que[205];
int main()
{
    int n,m,top,i,j,p;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    top=int(sqrt(Db(n)));
    For(i,1,m)last[i]=-1;
    For(i,1,n)
    {
        f[i]=i;
        scanf("%d",&p);
        if(last[p]<que[1])
        For(j,1,top)que[j-1]=que[j];
        else
        {
            For(j,1,top)
            if(que[j]==last[p])break;
            while(j<top)que[j]=que[j+1],j++;
        }
        que[top]=i;
        For(j,1,top)f[i]=Min(f[que[j-1]]+(top-j+1)*(top-j+1),f[i]);
        last[p]=i;
    }
    cout<<f[n];
    return 0;
}