【POJ1845】Sumdiv（数论/约数和定理/等比数列二分求和）

题目：

POJ1845

分析：

首先用线性筛把\(A\)分解质因数，得到：

\[A=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}...*p_n^{a_n} (p_i是质数且a_i>0)
\]

则显然\(A^B\)分解质因数后为

\[A=p_1^{a_1B}*p_2^{a_2B}...*p_n^{a_nB} (p_i是质数且a_i>0)
\]

接下来隆重推出约数和定理：（证明见【知识总结】约数个数定理和约数和定理及其证明)

\[Sum=\prod_{i=1}^n \sum_{j=0}^{a_i}p_i^j
\]

那么很明显可以对于每一个\(p_i\)计算\(p_i^0+p_i^1...+p_1^{a_iB}\)然后乘起来就是答案。这就是一个等比数列求和了。

等比数列求和公式中含有除法，所以取模求和的时候不能直接用求和公式，否则如果除数刚好是模数的倍数就会出现逆元不存在的尴尬情况……例如POJ该题讨论区中的数据\(59407 \ 1\) (\(59407=9901*6+1\)，求和公式中除数是\(59406\)，此数在模\(9901\)意义下没有逆元)

这里介绍一种二分等比数列求和的方法，思路和快速幂相似，即代码中的\(powersum\)函数

可以把这个等比数列平分成长度相等的两部分。

当\(n\)是偶数

\[(p_i^0+p_i^1...+p_i^{n/2})+(p_i^{n/2+1}+p_i^{n/2+2}...+p_i^n)
\]

然后从后半部分提出一个\(p_i^{n/2+1}\)，它就和偶数部分一样了！得到

\[(p_i^0+p_i^1...+p_i^{n/2})*(p_i^{n/2+1}+1)
\]

显然左边可以递归地算下去，右边用快速幂求出。

当\(n\)是奇数，只要上述\(n/2\)均向下取整，算完以后加上\(p_i^n\)就可以了。这个也可以用快速幂解决。

代码：

\(powersum\)函数求的是\(\sum_{j=1}^{a_i}p_i^j\)，所以最后统计答案的时候要手动加上\(p_i^0\) (也就是\(1\))

筛质数时有一个小技巧。并不需要筛出\(5e7\)范围内的所有质数。x不可能含有两个或以上大于\(\sqrt x\)的质因数，所以\(x\)除以\(\sqrt{5e7}\)范围内的所有质数后如果仍不为\(1\)，那么此时剩下的\(x\)一定是一个质数

我才不会告诉你模数叫QQ_kotori是为了膜某位n姓QQ小嘴/复读机

#include <iostream>
using namespace std;

namespace zyt
{
	typedef long long ll;
	const int QQ_kotori = 9901;
	const int M = 7100;
	ll prime[M], index[M];
	int cnt;
	void init_prime(ll x)
	{
		static bool mark[M];
		for (int i = 2; i < M && x > 1; i++)
		{
			if (!mark[i])
			{
				ll tmp = 0;
				prime[cnt] = i;
				while (x % i == 0)
					tmp++, x /= i;
				index[cnt++] = tmp;
			}
			for (int j = 0; j < cnt && i * prime[j] < M; j++)
			{
				ll k = i * prime[j];
				mark[k] = true;
				if (i % prime[j] == 0)
					break;
			}
		}
		if (x > 1)
		{
			prime[cnt] = x;
			index[cnt++] = 1;
		}
	}
	ll power(ll a, ll b)
	{
		ll ans = 1;
		while (b)
		{
			if (b % 2)
				ans = ans * a % QQ_kotori;
			a = a * a % QQ_kotori;
			b /= 2;
		}
		return ans;
	}
	ll powersum(ll a, ll b)
	{
		if (b == 1)
			return a % QQ_kotori;
		ll ans = powersum(a, b / 2) * (1 + power(a, b / 2)) % QQ_kotori;
		if(b % 2)
			ans = (ans + power(a, b)) % QQ_kotori;
		return ans;
	}
	void work()
	{
		ll a, b, ans = 1;
		cin >> a >> b;
		if (a == 0)
		{
			cout << 0;
			return;
		}
		else if (b == 0)
		{
			cout << 1;
			return;
		}
		init_prime(a);
		for (int i = 0; i < cnt; i++)
			if (index[i])
				ans = ans * (powersum(prime[i], index[i] * b) + 1) % QQ_kotori;
		cout << ans;
	}
}
int main()
{
	zyt::work();
	return 0;
}