P6076-[JSOI2015]染色问题【组合数学,容斥】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6076

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题目大意

给出\(n*m\)的网格，\(c\)种颜色涂色要求

1. 每个格子可以染色也可以不染
2. 每一行每一列至少有一个格子被染
3. 每个颜色至少用一次

\(1\leq n,m,c\leq 400\)

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解题思路

一个比较简单的方法就是容斥，枚举有多少染色的和不染色的行列，和枚举使用的颜色个数

\[\sum_{i=0}^c\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^m\binom{c}{i}\binom nj\binom mk(i+1)^{j+k}(-1)^{c+n+m-i-j-k}
\]

这样预处理就是\(O(nmc)\)的，但是可以做到更快。

设\(f_i\)表示最多染了\(i\)种颜色的方案，那么久只需要满足第二个条件了。第二个条件可以用一个容斥搞定，考虑枚举多少行没染

\[f_k=\sum_{i=1}^n(-1)^{n-i}((k+1)^{m}-1)^i
\]

这样预处理就可以做到\(O(nc)\)

这里写的是第一种，因为比较懒

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=410,P=1e9+7;
ll n,m,c,C[N][N],pw[N*N],ans;
signed main()
{
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&c);
	C[0][0]=1;
	for(ll i=1;i<N;i++)
		for(ll j=0;j<N;j++)
			C[i][j]=(C[i-1][j]+(j?C[i-1][j-1]:0))%P;
	for(ll i=0;i<=c;i++){
		pw[0]=1;
		for(ll j=1;j<=n*m;j++)
			pw[j]=pw[j-1]*(i+1)%P;
		for(ll j=0;j<=n;j++)
			for(ll k=0;k<=m;k++){
				ll f=(c-i)+(n-j)+(m-k);
				if(f&1)f=-1;else f=1;
				(ans+=f*C[n][j]*C[m][k]%P*C[c][i]%P*pw[j*k]%P)%=P;
			}
	}
	printf("%lld\n",(ans+P)%P);
	return 0;
}