BZOJ1049 [HAOI2006]数字序列0

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Description

　　现在我们有一个长度为n的整数序列A。但是它太不好看了，于是我们希望把它变成一个单调严格上升的序列。
但是不希望改变过多的数，也不希望改变的幅度太大。

Input

　　第一行包含一个数n，接下来n个整数按顺序描述每一项的键值。n<=35000,保证所有数列是随机的

Output

　　第一行一个整数表示最少需要改变多少个数。第二行一个整数，表示在改变的数最少的情况下，每个数改变
的绝对值之和的最小值。

Sample Input

4
5 2 3 5

Sample Output

1
4

正解：DP

解题报告：

　　考虑补集转换，题目转换为：最大化不修改的点。

　　对于任意的i,j(j<i),如果可以通过修改中间的j-i+1个数来使得[j,i]满足要求，必要条件是a[i]-a[j]>=i-j，不妨设b[i]=a[i]-i，则条件变为b[i]>=b[j]，至此第一问最长不降子序列可做。

　　第二问，不妨设g[i]为1到i的答案，则

　　$${g[i]=min(g[j]+cost[j+1,i])}$$

　　j需要满足：j可以转移到i且$${f[j]+1=f[i]}$$

　　cost[j,i]表示修改[j,i]的最小代价

　　结论：必定存在点t使得[j,t]都为bj，[t+1,i]都为bi。证明从略

　　只需每次找到一个分割点，暴力枚举即可。细节较多。

 //It is made by ljh2000

 #include <iostream>

 #include <cstdlib>

 #include <cstring>

 #include <cstdio>

 #include <cmath>

 #include <algorithm>

 #include <vector>

 #include <string>

 using namespace std;

 typedef long long LL;

 const int MAXN = ;

 const LL inf = (1LL<<);

 int n;

 LL a[MAXN],g[MAXN],cost1[MAXN],cost2[MAXN],b[MAXN],c[MAXN],ans,f[MAXN];

 vector<int>w[MAXN];

 inline int getint(){

     int w=,q=; char c=getchar(); while((c<''||c>'') && c!='-') c=getchar();

     if(c=='-') q=,c=getchar(); while (c>=''&&c<='') w=w*+c-'',c=getchar(); return q?-w:w;

 }

 inline int find(LL x){ int l=,r=n,pos=,mid; while(l<=r) { mid=(l+r)>>; if(c[mid]<=x) l=mid+,pos=mid; else r=mid-; } return pos; }

 inline void work(){

     n=getint(); for(int i=;i<=n;i++) a[i]=getint(),b[i]=a[i]-i; a[++n]=inf; b[n]=a[n]-n; for(int i=;i<=n;i++) c[i]=g[i]=inf;

     for(int i=;i<=n;i++) f[i]=find(b[i])+,c[f[i]]=min(c[f[i]],b[i]); for(int i=;i<=n;i++) ans=max(ans,f[i]);

     printf("%lld\n",n-ans); w[].push_back(); int from; LL now; b[]=-inf;//!!!

     for(int i=;i<=n;i++) {

         from=f[i]-;

         for(int j=,size=w[from].size();j<size;j++) {

             int v=w[from][j]; if(b[i]<b[v]) continue;//转移不到

             cost1[v-]=cost2[v-]=;

             for(int k=v;k<=i;k++) cost1[k]=abs(b[k]-b[v]),cost2[k]=abs(b[k]-b[i]);

             for(int k=v+;k<=i;k++) cost1[k]+=cost1[k-],cost2[k]+=cost2[k-];

             for(int k=v;k<=i;k++) {

                 now=cost1[k]-cost1[v]+cost2[i]-cost2[k];

                 g[i]=min(g[i],g[v]+now);

             }

         }

         w[f[i]].push_back(i);

     }

     printf("%lld",g[n]);

 }

 int main()

 {

     work();

     return ;

 }