洛谷 P4721 [模板]分治FFT —— 分治FFT / 多项式求逆

题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4721

分治做法，考虑左边对右边的贡献即可；

注意最大用到的 a 的项也不过是 a[r-l] ，所以 NTT 可以只做到 2*(r-l)，能快一倍。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const xn=(<<),mod=;
int n,f[xn],g[xn],a[xn],b[xn],rev[xn];
int rd()
{
  int ret=,f=; char ch=getchar();
  while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=; ch=getchar();}
  while(ch>=''&&ch<='')ret=ret*+ch-'',ch=getchar();
  return f?ret:-ret;
}
ll pw(ll a,int b)
{
  ll ret=;
  for(;b;b>>=,a=(a*a)%mod)if(b&)ret=(ret*a)%mod;
  return ret;
}
int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod; while(x<)x+=mod; return x;}
void ntt(int *a,int tp,int lim)
{
  for(int i=;i<lim;i++)
    if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
  for(int mid=;mid<lim;mid<<=)
    {
      int wn=pw(,tp==?(mod-)/(mid<<):(mod-)-(mod-)/(mid<<));
      for(int j=,len=(mid<<);j<lim;j+=len)
    for(int k=,w=;k<mid;k++,w=(ll)w*wn%mod)
      {
        int x=a[j+k],y=(ll)w*a[j+mid+k]%mod;
        a[j+k]=upt(x+y); a[j+mid+k]=upt(x-y);
      }
    }
  if(tp==)return; int inv=pw(lim,mod-);
  for(int i=;i<lim;i++)a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;
}
void work(int l,int r)
{
  if(l==r)return;
  int len=r-l+,mid=((l+r)>>);
  work(l,mid); int lim=,L=;
  while(lim<=(r-l))lim<<=,L++;//max:r-l
  for(int i=;i<lim;i++)rev[i]=((rev[i>>]>>)|((i&)<<(L-)));
  for(int i=;i<lim;i++)a[i]=b[i]=;//
  for(int i=l;i<=mid;i++)a[i-l]=f[i];
  for(int i=;i<len;i++)b[i]=g[i];
  ntt(a,,lim); ntt(b,,lim);
  for(int i=;i<lim;i++)a[i]=(ll)a[i]*b[i]%mod;
  ntt(a,-,lim);
  for(int i=mid+;i<=r;i++)f[i]=upt(f[i]+a[i-l]);
  work(mid+,r);
}
int main()
{
  n=rd(); f[]=;
  for(int i=;i<n;i++)g[i]=rd();
  work(,n-);
  for(int i=;i<n;i++)printf("%d ",f[i]); puts("");
  return ;
}

多项式求逆做法感觉很妙：

设 \( F(x) = \sum f_{i}*x_{i} \)，\( G(x) = \sum g_{i}*x_{i} \)

则 \( F(x) * G(x) = \sum x_{i} * \sum\limits_{j=0}^{i} f_{j}*g_{i-j} \)

即 \( F(x) * G(x) = F(x) - f_{0}*x_{0} \)

所以 \( F(x) = (1-G(x))^{-1} \)

多项式求逆即可。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const xn=(<<),mod=;
int n,f[xn],g[xn],c[xn],rev[xn];
int rd()
{
  int ret=,f=; char ch=getchar();
  while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=; ch=getchar();}
  while(ch>=''&&ch<='')ret=ret*+ch-'',ch=getchar();
  return f?ret:-ret;
}
ll pw(ll a,int b)
{
  ll ret=;
  for(;b;b>>=,a=(a*a)%mod)if(b&)ret=(ret*a)%mod;
  return ret;
}
int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod; while(x<)x+=mod; return x;}
void ntt(int *a,int tp,int lim)
{
  for(int i=;i<lim;i++)
    if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
  for(int mid=;mid<lim;mid<<=)
    {
      int p=mod-,len=(mid<<),wn=pw(,tp==?p/len:p-p/len);
      for(int j=;j<lim;j+=len)
    for(int k=,w=;k<mid;k++,w=(ll)w*wn%mod)
      {
        int x=a[j+k],y=(ll)w*a[j+mid+k]%mod;
        a[j+k]=upt(x+y); a[j+mid+k]=upt(x-y);
      }
    }
  if(tp==)return; int inv=pw(lim,mod-);
  for(int i=;i<lim;i++)a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;
}
void inv(int *a,int *b,int n)
{
  if(n==){b[]=pw(a[],mod-); return;}
  inv(a,b,(n+)>>);
  int lim=,l=;
  while(lim<n+n)lim<<=,l++;
  for(int i=;i<lim;i++)rev[i]=((rev[i>>]>>)|((i&)<<(l-)));
  for(int i=;i<n;i++)c[i]=a[i];
  for(int i=n;i<lim;i++)c[i]=;
  ntt(c,,lim); ntt(b,,lim);
  for(int i=;i<lim;i++)b[i]=((ll)-(ll)c[i]*b[i])%mod*b[i]%mod;
  ntt(b,-,lim);
  for(int i=n;i<lim;i++)b[i]=;
}
int main()
{
  n=rd(); f[]=; g[]=;
  for(int i=;i<n;i++)g[i]=-rd();
  inv(g,f,n);
  for(int i=;i<n;i++)printf("%d ",f[i]); puts("");
  return ;
}