BZOJ 1188 [HNOI2007]分裂游戏

AC通道：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1188

学习SG函数的过程中，我先看了一篇叫做

《2008-贾志豪-组合数学略述...》

然后他开篇介绍了两篇不错的论文：

《2002-zyf-从感性到理性...》

《2007-王晓珂-解析一类...》

好吧，然后我就按照推荐先看第一篇zyf的...哇感觉很好看懂啊，然后就看了一上午。

然后SG函数的定义都没有出现，就是讲了几个题，不过人家毕竟是开端，然后我去看王晓珂的论文。

然后我才发现原来zyf的一大篇论文在这里只是一个小小的定义+一个证明。

好吧，我懵逼了。于是就不想看什么论文了，直接做题。

不过那个小小的定义还是一定要提的：

　　SG(x)=the min_number ∉ (x->v  SG(v))

怎么发现这个东西的呢？还是看zyf的论文最好办...

好了不扯了，讲讲这道题吧。

这个游戏用另一种角度来看，可以将每一颗石子看作是一堆石子,如果它是第p堆中的石子，把么它所代表的这堆石子的个数为n-1-p。从而，操作变为拿走一个非0的石堆，并放入2个规模小于他的石堆(可以为0)。这便成了另一个游戏。之所以这么做是因为，转化后的游戏与经典的take&break游戏很相似。

因为石子堆是互不干扰的,因此这个游戏可以看作由若干个只有一堆石子的游戏组成。

先分析子游戏。求子游戏某状态x的SG函数值，我们需要它后继状态的SG函数值，子游戏的后继状态大多数为含有2堆石子的状态，不过2堆均小于x石子数。在了解石子数小于x的状态函数值的条件下，用SG定理可以求得任意后继状态的函数值。

用(p)表示只剩一堆规模为p的石子的状态，(p,q)表示剩下2堆石子，规模分别为p,q的状态。g (i,j) = g (i) xor g (j) ; g(i) = min{n∈  N | n ≠ g (p,q) for i ≥ p≥ 0 且 i ≥ q ≥ 0}。[这个部分看代码+自己脑补是很好想出来的]

应用以上结论，我们可以递推求得子游戏任意状态的SG函数值。用SG定理可以求得和游戏的任意状态的SG函数值。SG=0,David可以保证他的胜利，否则就不行。至于策略，只要操作之后留下的状态SG值为0就行了。

时间复杂度分析：

以上算法包含O (n)个SG值的计算，计算每一个的时间最多为O(n²)，判断必胜状态需要O ( ∑S_i )，寻找最优策略需要O (n³)的时间，综上,该算法的时间复杂度为O(n³+∑Si)。

[唔，上面这段话我会告诉你在王晓珂的论文中就有吗？...]

一个小tips：位运算的运算级别太低啦...比逻辑运算符还要低...所以异或的时候记得打括号。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int maxn=;
const int maxt=maxn*maxn*maxn;

int n;
int a[maxn];
int SG[maxn];
bool T[maxt];

void Init(){
    for(int i=;i<maxn;i++){
        memset(T,,sizeof(T));
        for(int j=;j<i;j++)
            for(int k=;k<=j;k++)
                T[SG[j]^SG[k]]=true;
        for(int j=;j<maxt;j++)
            if(!T[j]){SG[i]=j;break;}
    }
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1188.in","r",stdin);
    freopen("1188.out","w",stdout);
#endif

    int kase,ans,ai,aj,ak,cnt;
    scanf("%d",&kase);
    Init();

    while(kase--){

        ans=ai=aj=ak=cnt=;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            if(a[i]&) ans^=SG[n-i];
        }
        for(int i=;i<=n;i++)
            if(a[i])
            for(int j=i+;j<=n;j++)
                for(int k=j;k<=n;k++)
                    if((ans^SG[n-i]^SG[n-j]^SG[n-k])==){
                        if(!ai) ai=i,aj=j,ak=k;
                        cnt++;
                    }

        printf("%d %d %d\n%d\n",ai-,aj-,ak-,cnt);
    }

    return ;
}