【Java】 剑指offer(13) 剪绳子

本文参考自《剑指offer》一书，代码采用Java语言。

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题目

　　给你一根长度为n绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n＞1并且m＞1）。每段的绳子的长度记为k[0]、k[1]、……、k[m]。k[0]*k[1]*…*k[m]可能的最大乘积是多少？例如当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到最大的乘积18。

思路

　　本题采用动态规划或者贪婪算法可以实现。一开始没有思路时，可以从简单的情况开始想，试着算以下比较短的绳子是如何剪的。

　　当n=1时，最大乘积只能为0；

　　当n=2时，最大乘积只能为1；

　　当n=3时，最大乘积只能为2；

　　当n=4时，可以分为如下几种情况:1*1*1*1，1*2*1，1*3，2*2，最大乘积为4；

　　往下推时，发现n≥4时，可以把问题变成几个小问题，即：如果把长度n绳子的最大乘积记为f(n)，则有：f(n)=max(f(i)*f(n-1))，0<i<n。所以思路就很容易出来了：从下往上推，先算小的问题，再算大的问题，大的问题通过寻找小问题的最优组合得到。

　　其实这就是动态规划法，以下是动态规划法的几个特点：

　　1.求一个问题的最优解

　　2.整体问题的最优解依赖各子问题的最优解

　　3.小问题之间还有相互重叠的更小的子问题

　　4.为了避免小问题的重复求解，采用从上往下分析和从下往上求解的方法求解问题

　　贪婪算法依赖于数学证明，当绳子大于5时，尽量多地剪出长度为3的绳子是最优解。

测试用例

　　1.功能测试（长度大于5）

　　2.边界值测试（长度1，2，3，4）

完整Java代码

（含测试代码，测试代码参考：CuttingRope.cpp）

/**
 *
 * @Description 面试题14：剪绳子
 *
 * @author yongh
 * @date 2018年9月17日 上午9:37:41
 */

// 题目：给你一根长度为n绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1并且m≥1）。
// 每段的绳子的长度记为k[0]、k[1]、……、k[m]。k[0]*k[1]*…*k[m]可能的最大乘
// 积是多少？例如当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此
// 时得到最大的乘积18。

public class CuttingRope {
	// ======动态规划======
	public int maxProductAfterCutting_solution1(int length) {
		if (length <= 1)
			return 0;
		if (length == 2)
			return 1;
		if (length == 3)
			return 2;
		int[] product = new int[length + 1]; // 用于存放最大乘积值
		// 下面几个不是乘积，因为其本身长度比乘积大
		product[0] = 0;
		product[1] = 1;
		product[2] = 2;
		product[3] = 3;

		// 开始从下到上计算长度为i绳子的最大乘积值product[i]
		for (int i = 4; i <= length; i++) {
			int max = 0;
			// 算不同子长度的乘积，找出最大的乘积
			for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
				if (max < product[j] * product[i - j])
					max = product[j] * product[i - j];
			}
			product[i] = max;
		}
		return product[length];
	}

	// =======贪婪算法========
	public int maxProductAfterCutting_solution2(int length) {
		if (length <= 1)
			return 0;
		if (length == 2)
			return 1;
		if (length == 3)
			return 2;
		int timesOf3 = length / 3;
		int timesOf2 = 0;
		if (length - timesOf3 * 3 == 1) {
			timesOf3--;
			// timesOf2=2;  //错误！
		}
		timesOf2 = (length - timesOf3 * 3) / 2;
		return (int) (Math.pow(3, timesOf3) * Math.pow(2, timesOf2));
	}

	// =====测试代码======
	void test(String testName, int length, int expected) {
		if (testName != null)
			System.out.println(testName + ":");
		if (maxProductAfterCutting_solution1(length) == expected) {
			System.out.print("    动态规划:" + "passed  ");
		} else {
			System.out.print("    动态规划:" + "failed  ");
		}

		if (maxProductAfterCutting_solution2(length) == expected) {
			System.out.println("贪婪算法:" + "passed  ");
		} else {
			System.out.println("贪婪算法:" + "failed  ");
		}
	}

	void test1() {
		test("test1", 1, 0);
	}

	void test2() {
		test("test2", 2, 1);
	}

	void test3() {
		test("test3", 3, 2);
	}

	void test4() {
		test("test4", 4, 4);
	}

	void test5() {
		test("test5", 5, 6);
	}

	void test6() {
		test("test6", 10, 36);
	}

	void test7() {
		test("test7", 50, 86093442);
	}

	public static void main(String[] args) {
		CuttingRope demo = new CuttingRope();
		demo.test1();
		demo.test2();
		demo.test3();
		demo.test4();
		demo.test5();
		demo.test6();
		demo.test7();
	}
}

　　

test1:
    动态规划:passed  贪婪算法:passed
test2:
    动态规划:passed  贪婪算法:passed
test3:
    动态规划:passed  贪婪算法:passed
test4:
    动态规划:passed  贪婪算法:passed
test5:
    动态规划:passed  贪婪算法:passed
test6:
    动态规划:passed  贪婪算法:passed
test7:
    动态规划:passed  贪婪算法:passed  

CuttingRope

收获

　　1.最优解问题，经常使用动态规划法，关键要刻画最优解的结构特征（本题的f(n)），从下往上计算最优解的值，没有思路时，从简单情况先算一下。

　　2.动态规划法中，子问题的最优解一般存放于一个数组中。

　　3.本题贪婪规划的代码中，timeOf2别忘记等于1的情况。

复习时补充：

1. 动态规划法可以直接令 f(n)=max{f(n-2)*2,f(n-3)*3} 就可以了。

2. 贪婪算法，第51-58行可改为

		int timesOf3=n/3;
		if(n%3==0)
			return (int)Math.pow(3, timesOf3);
		if(n%3==1)
			return (int)Math.pow(3, timesOf3-1)*4;  //是乘以4，不是2
		return (int)Math.pow(3, timesOf3)*2;

　　

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