传送门


一道裸的错排问题

错排问题

百度百科上这样

就是对于一个排列,每一个数都不在正确的位置上的方案数。n 个元素的错排数记为 D(n)。

公式

D(n)=(n−1)∗(D(n−2)+D(n−1))

推出公式(感性)

对于第n个数,放在k位置上。

而第k个数有两种情况:

  • 当第k个数放到n位置时,相当于把k和n交换了位置,对剩下的n-2个数没有任何影响,所以方案数为D(n-2)。
  • 当第k个数不放到n位置时,相当于k由原来的不能放在k位置变成了不能放在n位置,对k和剩下的n-2个数即这n-1个数都没有影响,所以方案数为D(n-1)。

所以对于每个k,都有D(n-1)+D(n-2)种排法。而k有n-1种选择,所以要乘上n-1,最终得出公式D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2))。

其中,D(1)初始化为0,D(2)初始化为1。

AC代码

 #include<iostream>
using namespace std;
long long ans[];
int main()
{
int n;
cin>>n;
ans[]=;
ans[]=;
for(int i=;i<=n;i++) ans[i]=(i-)*(ans[i-]+ans[i-]);
cout<<ans[n];
return ;
}

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