CF963E Circles of Waiting

Circles of Waiting

求一个整点四连通随机游⾛，离原点距离超过R期望步数。R≤50。

带状矩阵法

本质上就是网格图的随机游走。

\[E_x=\sum_y P_{x,y}E_y+1
\]

相关联的变量较少，所以使用Band Matrix即可。时间复杂度 \(O(R^4)\)。

https://blog.csdn.net/lycheng1215/article/details/80180178

貌似这题不写主元系数为0时的操作也是对的。

CO int dx[4]={-1,0,1,0},dy[4]={0,-1,0,1};
int p[4];
CO int N=103,O=51;
int idx[N][N],tot;
pair<int,int> pt[N*N];
CO int M=7845+5;
int a[M][M];

int main(){
	int R=read<int>();
	int all=0;
	for(int i=0;i<=3;++i) all+=read(p[i]);
	all=fpow(all,mod-2);
	for(int i=0;i<=3;++i) p[i]=mul(p[i],all);
	for(int y=-R;y<=R;++y)for(int x=-R;x<=R;++x)
		if(x*x+y*y<=R*R) idx[x+O][y+O]=++tot,pt[tot]=make_pair(x+O,y+O);
	for(int i=1;i<=tot;++i){
		a[i][i]=1,a[i][tot+1]=1;
		int x=pt[i].first,y=pt[i].second;
		for(int j=0;j<=3;++j)if(idx[x+dx[j]][y+dy[j]])
			a[i][idx[x+dx[j]][y+dy[j]]]=mod-p[j];
	}
	int lim=0;
	for(int i=1;i<=tot;++i){
		lim=max(lim,idx[pt[i].first][pt[i].second+1]);
		int inv=fpow(a[i][i],mod-2);
		for(int j=i+1;j<=lim;++j)if(a[j][i]){
			int coef=mul(mod-a[j][i],inv);
			for(int k=i;k<=lim;++k) a[j][k]=add(a[j][k],mul(coef,a[i][k]));
			a[j][tot+1]=add(a[j][tot+1],mul(coef,a[i][tot+1]));
		}
	}
	for(int i=tot;i>=1;--i){
		for(int j=i+1;j<=tot;++j)
			a[i][tot+1]=add(a[i][tot+1],mod-mul(a[i][j],a[j][tot+1])),a[i][j]=0;
		a[i][tot+1]=mul(a[i][tot+1],fpow(a[i][i],mod-2)),a[i][i]=1;
	}
	printf("%d\n",a[idx[O][O]][tot+1]);
	return 0;
}

主元法

可以对每一行最左边的元素设置未知变量。

每个点可以向上下左右走，那么如何转移系数呢？

\[E_{x-1,y}=p_1E_{x-2,y}+p_2E_{x-1,y-1}+p_3E_{x,y}+p_4E_{x-1,y+1}+1\\
E_{x,y}=\frac{1}{p_3}(E_{x-1,y}-p_1E_{x-2,y}-p_2E_{x-1,y-1}-p_4E_{x-1,y+1}-1)
\]

所以说系数的转移还可以间接来整。

时间复杂度 \(O(R^3)\)。

CO int N=100+10;
int p[4];
int c[N][N][N];
int a[N][N];

int main(){
	int R=read<int>();
	int all=0;
	for(int i=0;i<=3;++i) all+=read(p[i]);
	all=fpow(all,mod-2);
	for(int i=0;i<=3;++i) p[i]=mul(p[i],all);
	int n=2*R+1;
	function<bool(int,int)> check=[R](int x,int y)->bool{
		return (x-R-1)*(x-R-1)+(y-R-1)*(y-R-1)<=R*R;
	};
	for(int x=1;x<=n;++x)for(int y=1;y<=n;++y){
		if(!check(x,y)) continue;
		if(!check(x-1,y)){
			c[x][y][y]=1;
			continue;
		}
		int inv=fpow(p[2],mod-2);
		for(int i=1;i<=n+1;++i){
			int sum=c[x-1][y][i];
			sum=add(sum,mod-mul(p[0],c[x-2][y][i]));
			sum=add(sum,mod-mul(p[1],c[x-1][y-1][i]));
			sum=add(sum,mod-mul(p[3],c[x-1][y+1][i]));
			if(i==n+1) sum=add(sum,mod-1);
			c[x][y][i]=mul(sum,inv);
		}
	}
	for(int y=1;y<=n;++y){
		int x=sqrt(R*R-(y-R-1)*(y-R-1))+R+1;
		for(int i=1;i<=n+1;++i){
			int sum=c[x][y][i];
			sum=add(sum,mod-mul(p[0],c[x-1][y][i]));
			sum=add(sum,mod-mul(p[1],c[x][y-1][i]));
			sum=add(sum,mod-mul(p[3],c[x][y+1][i]));
			if(i==n+1) sum=add(sum,mod-1);
			a[y][i]=sum;
		}
		a[y][n+1]=mod-a[y][n+1];
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int p=i;
		for(int j=i;j<=n;++j)
			if(a[j][i]) {p=j;break;}
		if(p!=i) swap(a[p],a[i]);
		int inv=fpow(a[i][i],mod-2);
		for(int j=1;j<=n;++j)if(j!=i){
			int coef=mul(mod-a[j][i],inv);
			for(int k=i;k<=n+1;++k) a[j][k]=add(a[j][k],mul(coef,a[i][k]));
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		a[i][n+1]=mul(a[i][n+1],fpow(a[i][i],mod-2)),a[i][i]=1;
	int ans=c[R+1][R+1][n+1];
	for(int i=1;i<=n;++i) ans=add(ans,mul(c[R+1][R+1][i],a[i][n+1]));
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}