h1 { margin-bottom: 0.21cm }
h1.western { font-family: "Liberation Sans", sans-serif; font-size: 18pt }
h1.cjk { font-family: "Noto Sans CJK SC Regular"; font-size: 18pt }
h1.ctl { font-family: "Noto Sans CJK SC Regular"; font-size: 18pt }
p { margin-bottom: 0.25cm; line-height: 120% }

牛顿插值法

一、背景引入

相信朋友们,开了拉格朗日插值法后会被数学家的思维所折服,但是我想说有了拉格朗日插值法还不够,因为我们每次增加一个点都得重算所有插值基底函数,这样会增加计算量,下面我们引入牛顿插值法,这种插值法,添加一个插值结点我们只要做很小的变动便可以得到新的插值多项式。

二、理论推导

-均差的定义:

(一阶均差)

二阶均差为一阶均差再求均差。(显然是递推的)

一般地,函数f 的k阶均差定义为:

由均差的性质可以推导出:

k+1阶均差:

p { margin-bottom: 0.25cm; line-height: 120% }

(具体性质看:《数值分析:第5版》 page:30)

由均差的递推性,我们可以用以下表来求:

求表的公式:

table[i][j] = (table[i - 1][j] - table[i - 1][j - 1]) / (x[j] - x[j - i]);

p { margin-bottom: 0.25cm; line-height: 120% }

其中P(x) 为插值多项式,而R(x) 为插值余项。

所以p(x):

(由于图片问题此处P(x) 同N(x))

p { margin-bottom: 0.25cm; line-height: 120% }

三、代码实现

由以上推导可知,求牛顿插值多项式子主要就是求均差。

均差可由上表递推求得:

求表的公式:

table[i][j] = (table[i - 1][j] - table[i - 1][j - 1]) / (x[j] - x[j - i]);

#include <iostream>
using namespace std;
#include <vector>
inline double newton_solution(double x[], double y[], int n, double num, int newton_time)
{
    vector<vector<);
    ; i <= n; i++) {
        table[i].resize(n + );
    }
    ; i <= n; i++) table[][i] = y[i];
    ; i <= n; i++) {
        for (int j = i; j <= n; j++) {
            table[i][j] = (table[i - ][j] - table[i - ][j - ]) / (x[j] - x[j - i]);
        }
    }

    double res = 0.0;
    ; i <= newton_time; i++) {
        double temp = table[i][i];
        ; j < i; j++) {
            temp *= num - x[j];
        }
        res += temp;
    }

    return res;

}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    ;
    cout << "插值节点个数-1:";
    cin >> n;
    ], y[n + ];
    cout << "\n请输入x[i]:";
    ; i <= n; i++) {
        cin >> x[i];
    }
    cout << "\n请输入y[i]:";
    ; i <= n; i++) {
        cin >> y[i];
    }
    ;
    cout << "\n请输入要求的点的x:";
    cin >> num;
    cout << "\n请输入所求的插值多项式次数:";
    ;
    cin >> newton_time;
    cout << newton_solution(x, y, n, num, newton_time) << endl;
    ;

牛顿插值法及其C++实现的更多相关文章

  1. 牛顿插值法——用Python进行数值计算

    拉格朗日插值法的最大毛病就是每次引入一个新的插值节点,基函数都要发生变化,这在一些实际生产环境中是不合适的,有时候会不断的有新的测量数据加入插值节点集, 因此,通过寻找n个插值节点构造的的插值函数与n ...

  2. Matlab数值计算示例: 牛顿插值法、LU分解法、拉格朗日插值法、牛顿插值法

    本文源于一次课题作业,部分自己写的,部分借用了网上的demo 牛顿迭代法(1) x=1:0.01:2; y=x.^3-x.^2+sin(x)-1; plot(x,y,'linewidth',2);gr ...

  3. 牛顿插值法(c++)【转载】

    摘自<c++和面向对象数值计算>,代码简洁明快,采用模板函数,通用性增强,牛顿差分合理利用存储空间,采用Horner算法(又称秦九韶算法)提高精度,减少时间复杂度,高!确实是高!对其中代码 ...

  4. 差分形式的牛顿插值法(c++)

    本程序对cosx函数进行插值,取步长为0.1,因此x的值为0.00,0.10,0.20,0.30,对应的y值为cos(0.00),cos(0.10),cos(0.20),cos(0.30),其实本程序 ...

  5. 牛顿插值法(c++)

    X Y 0.40 0.41075 0.55 0.57815 0.65 0.69675 0.80 0.88811 0.90 1.02652 1.05 1.25382 #include using nam ...

  6. CPP,MATLAB实现牛顿插值

    牛顿插值法的原理,在维基百科上不太全面,具体可以参考这篇文章.同样贴出,楼主作为初学者认为好理解的代码. function p=Newton1(x1,y,x2) %p为多项式估计出的插值 syms x ...

  7. 埃尔米特插值问题——用Python进行数值计算

    当插值的要求涉及到对插值函数导数的要求时,普通插值问题就变为埃尔米特插值问题.拉格朗日插值和牛顿插值的要求较低,只需要插值函数的函数值在插值点与被插函数的值相等,以此来使得在其它非插值节点插值函数的值 ...

  8. 风景区的面积及道路状况分析问题 test

    参考文献:   https://wenku.baidu.com/view/b6aed86baf1ffc4ffe47ac92.html #include <bits/stdc++.h> us ...

  9. ORACLE SQL 实现IRR的计算

    一.IRR计算的原理: 内部收益率(Internal Rate of Return (IRR)),就是资金流入现值总额与资金流出现值总额相等.净现值等于零时的折现率. 用公式 标识:-200+[30/ ...

随机推荐

  1. 201521123007《Java程序设计》第12周学习总结

    1. 本周学习总结 1.1 以你喜欢的方式(思维导图或其他)归纳总结多流与文件相关内容. 2. 书面作业 将Student对象(属性:int id, String name,int age,doubl ...

  2. 201521123059 《Java程序设计》第十二周学习总结

    1. 本周学习总结 1.1 以你喜欢的方式(思维导图或其他)归纳总结多流与文件相关内容. 2. 书面作业 将Student对象(属性:int id, String name,int age,doubl ...

  3. 201521123078 《Java程序设计》第12周学习总结

    1. 本周学习总结 1.1 以你喜欢的方式(思维导图或其他)归纳总结多流与文件相关内容. 2. 书面作业 将Student对象(属性:int id, String name,int age,doubl ...

  4. Hibernate逆向工程【PowerDesigner、idea环境下】

    为什么要使用逆向工程 由于我们每次编写Hibernate的时候都需要写实体,写映射文件.而且Hibernate的映射文件也容易出错.而逆向工程可以帮我们自动生成实体和映射文件,这样就非常方便了. 使用 ...

  5. SSH框架搭建最终版【测试、log4j、baseDao】

    最详细搭建SSH框架环境 本博文主要是讲解如何搭建一个比较规范的SSH开发环境,以及对它测试[在前面的搭建中,只是整合了SSH框架,能够使用SSH实现功能],而这次是相对规范的. 导入开发包 在Str ...

  6. python 接口测试1 --如何创建和打印日志文件

    python自带的logging实在是不好用,推荐使用logbook 思路如下: 1.创建path.py文件,获取工程根路径 2.创建log.py文件,在工程根路径下创建日志文件(文件名称按日期命名) ...

  7. Srping - bean的依赖注入(Dependency injection)

    目录 1 概述 2 两种基本的依赖注入方式 2.1 构造函数方式 2.2Setter方式 3 其他依赖注入功能 3.1 <ref/>标签引用不同范围的bean 3.2 内部bean 3.3 ...

  8. border-radius:50%和100%究竟有什么区别

    之前写css圆形时总是直接设置border-radius为50%.后来看某css动画网站时发现作者都是用的100%.遂去了解了一下2者的差别. border-radius的值是百分比的话,就相当于盒子 ...

  9. Opengl4.5 中文手册—C

    索引 A      B    C      D     E     F     G H      I    J      K     L     M     N O      P    Q      ...

  10. Kafka快速上手(2017.9官方翻译)

    为了帮助国人更好了解.上手kafka,特意翻译.修改了个文档.官方Wiki : http://kafka.apache.org/quickstart 快速开始 本教程假定您正在开始新鲜,并且没有现有的 ...