CCF系列之有趣的数(201312-4)
题目链接: http://115.28.138.223:81/view.page?opid=4
试题名称: 有趣的数
时间限制: 1.0s
内存限制: 256.0MB
问题描述: 问题描述
我们把一个数称为有趣的,当且仅当:
1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3,且这四个数字都出现过至少一次。
2. 所有的0都出现在所有的1之前,而所有的2都出现在所有的3之前。
3. 最高位数字不为0。
因此,符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外,4位的有趣的数还有两个:2031和2301。
请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大,只需要输出答案除以1000000007的余数。
输入格式
输入只有一行,包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。
输出格式
输出只有一行,包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。
样例输入
4
样例输出
3
解题思路:
- 在满足题意的情况下,首位只能是2
最高位不为0,
如果最高位为1,则不满足0在1之前,
最高位为3则不满足2在3之前,
所以最高位只能为2.
2、在网上找了个动态规划的方法,研究了一晚上大概是这样理解的:
前n步所有的最优解=前n-1步所有的最优解+第n步的最优解。
首先考虑0、1、2、3四位的方法,不考虑四位以上。
那么我可以把哪个数字放在首位呢?0?首位不能是0
1?那么0该放哪呢?
2。挺合适
3?那么2该放哪呢?
所以我们获得了第一步骤——放2,一个数字2
现在我们来接着第一步骤继续:
我们现在成功放了2了,那么剩下0、1、3。
20?可以
23?可以
21?0该放哪里?
所以我们获得了第二步骤——放0,两个数字 2和0
以及第三步骤——放3,两个数字 2和3
我们现在先研究第二步骤——放0,两个数字 2和0
我们现在放了20了,那么剩下1、3
201?可以
203?也可以
所以我们获得了第四步骤——放1,三个数字 2 0 1
以及第五步骤——放3 三个数字 2 0 3
我们现在来接着研究第三步骤:放3,两个数字 2和3
230?可以,这是第五步骤
231?0该放哪里?
所以第三步骤可以和第五步骤建立联系
我们最后研究第四步骤: 放1,三个数字 2 0 1 和 第五步骤:放3 三个数字 2 0 3
2031?刚好放完四个数字
所以我们获得了第六步骤:四个数字0123放完====================================================================
总结:
第一步骤:2 剩余 0 1 3
第二步骤:2 0 剩余 1 3
第三步骤:2 3 剩余 0 1
第四步骤:2 0 1 剩余 3
第五步骤:2 0 3 剩余 1
第六步骤:2 0 3 1 剩余 无
流程图如下:
根据动态规划的思想:
前n步所有的最优解=前n-1步所有的最优解+第n步的最优解。
首先,两个动态增加的量,一个是数字的位数N,另一个是0、1、2、3中出现的个数(虽然要求都至少出现一次,但 是为了维护思想的完整性,所以从出现1个,2个。。。一直递推到4个,额,好像1个、2个完了后,再有个3个就递推到4 个了,算了,不要在意这些细节)。
数字的位数从1增加到N没有问题。
关键我们来看看第二个增量。
状态2和状态3的最优解,依赖于状态1;状态4的最优解依赖于状态2,状态5的最优解依赖于状态2和状态3,状态6的最优解,依赖于状态4和状态5.
3、根据状态之间的转化进行递推:
建立一个二维数组a[N][6],横坐标表示数位N,纵坐标表示刚才的6种状态。
这样的话:
a[ ][ 0 ]就是状态一 // 2 剩余 0 1 3
a[ ][ 1 ]就是状态二 // 2 0 剩余 1 3
a[ ][ 2 ]就是状态三 // 2 3 剩余 0 1
a[ ][ 3 ]就是状态四 // 2 0 1 剩余 3
a[ ][ 4 ]就是状态五 // 2 0 3 剩余 1
a[ ][ 5 ]就是状态六 // 2 0 1 3 剩余 无
第i位出现第j种状态的情况数表示为 a[i][j]
i位数的来源在于(i-1)位数(已经按顺序排列)+最后一位数字
例如:
a[i][0] = a[i-1][0] ;
使用过2 的情况可以由: 前i-1位使用2(状态1),第i位使用2
a[i][1] = (a[i-1][0] + a[i-1][1] *2);
使用过 2 0 的情况可以由:前i-1位使用2(状态1),第i位使用0
前i-1位使用2 0(状态2),第i位使用0或2 (顺序正确)
a[i][2] = (a[i-1][0] + a[i-1][2] );
使用过 2 3 的情况可以由:前i-1位使用2(状态1),第i位使用3
前i-1位使用2 3(状态3),第i位使用3 (因为已经有了3了不能用2了,只能用3)
a[i][3] = (a[i-1][1] + a[i-1][3] *2);
使用过 2 0 1 的情况可以由:前i-1位使用2 0(状态2),第i位使用1
前i-1位使用2 0 1(状态4),第i位使用1或2 (因为已经有了1了不能用0了,只能用1)
a[i][4] = (a[i-1][1] + a[i-1][2] + a[i-1][4] *2);
使用过 2 0 3 的情况可以由: 前i-1位使用2 0(状态2),第i位使用3
前i-1位使用2 3(状态3),第i位使用0
前i-1位使用2 0 3(状态5),第i位使用0或3 (因为已经有了3了不能用2了,只能用3)
a[i][5] = (a[i-1][3] + a[i-1][4] + a[i-1][5] *2);
使用过2 3 0 1的情况可以由: 前i-1位使用2 0 1(状态4),第i位使用3
前i-1位使用2 0 3(状态5),第i位使用1
前i-1位使用2 3 0 1(状态6),第i位使用1或3
(因为已经有了1了不能用0了,只能用1)
(因为已经有了3了不能用2了,只能用3)
题目要求的答案为a[n][5],即0 1 2 3都使用过。
4.注意答案可能非常大,会爆int,应用long long。
由于答案可能非常大,只需要输出答案除以1000000007的余数。
mod = 1000000007;
1 a[0][0] = 1;
2 for (int i = 1; i < N; i++) {
3 j = i - 1;
4 a[i][0] = (a[j][0] * 1) % mod;
5 a[i][1] = (a[j][0] * 1 + a[j][1] * 2) % mod;
6 a[i][2] = (a[j][0] * 1 + a[j][2] * 1) % mod;
7 a[i][3] = (a[j][1] * 1 + a[j][3] * 2) % mod;
8 a[i][4] = (a[j][1] * 1 + a[j][2] * 1 + a[j][4] * 2) % mod;
9 a[i][5] = (a[j][3] * 1 + a[j][4] * 1 + a[j][5] * 2) % mod;
10 }
11 System.out.println(a[N - 1][5]);
5.代码如下(java):
版本1(完全符合以上分析,好理解):
1 package ccf_text;
2
3 import java.util.Scanner;
4
5 public class MainD2 {
6 public static void main(String[] args) {
7 Scanner in = new Scanner(System.in);
8 int N = in.nextInt();
9 long a[][] = new long[N][6];
10 int j = 0;
11 long mod = 1000000007;
12 // 2
13 // 2 0
14 // 2 3
15 // 2 0 1
16 // 2 0 3
17 // 2 0 1 3
18 a[0][0] = 1;
19 for (int i = 1; i < N; i++) {
20 j = i - 1;
21 a[i][0] = (a[j][0] * 1) % mod;
22 a[i][1] = (a[j][0] * 1 + a[j][1] * 2) % mod;
23 a[i][2] = (a[j][0] * 1 + a[j][2] * 1) % mod;
24 a[i][3] = (a[j][1] * 1 + a[j][3] * 2) % mod;
25 a[i][4] = (a[j][1] * 1 + a[j][2] * 1 + a[j][4] * 2) % mod;
26 a[i][5] = (a[j][3] * 1 + a[j][4] * 1 + a[j][5] * 2) % mod;
27 }
28 System.out.println(a[N - 1][5]);
29 }
30 }
版本2(标准答案):
package ccf_text2013_12; import java.util.*;
/**
* 我们把一个数称为有趣的,当且仅当:
1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3,且这四个数字都出现过至少一次。
2. 所有的0都出现在所有的1之前,而所有的2都出现在所有的3之前。
3. 最高位数字不为0。
因此,符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外,4位的有趣的数还有两个:2031和2301。
请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大,只需要输出答案除以1000000007的余数。
* @author Hello stranger
*
*/
public class InterstingData {
public static void main(String[] args) {
new InterstingData().run();
} public void run() {
Scanner fin = new Scanner(System.in); int N = fin.nextInt();
long[] count = new long[8];
count[6] = 0;
count[7] = 1;
long mod = 1000000007;
for (int i = 2; i <= N; ++i) {
long[] newCount = new long[8];
newCount[0] = (count[0] * 2 + count[1] + count[3]) % mod;
newCount[1] = (count[1] * 2 + count[2] + count[5]) % mod;
newCount[2] = (count[2] + count[6]) % mod;
newCount[3] = (count[3] * 2 + count[4] + count[5]) % mod;
newCount[4] = (count[4] + count[7]) % mod;
newCount[5] = (count[5] * 2 + count[6] + count[7]) % mod;
newCount[6] = 0;
newCount[7] = 1; count = newCount;
} System.out.println(count[0]);
}
}
6.运行结果示例:
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