[UOJ424]count

虽然题目不难，但是这应该是我第一次在考场上成功拿到计数题的不算低的分数，值得记录

如果对序列处理出$i$后面第一个比它大的位置$r_i$，那么两个序列同构的条件就是$r_i$都相同，而$r_i$构成一棵树，考虑计数树的数量

更进一步，我们只需计数那些由$1\cdots n$的排列生成的深度$\leq m$的树，因为用$[1,m]$中的数不能生成深度$\gt m$的树，生成这样的树的排列也可以通过恰当安排变成数字范围为$[1,m]$的序列

于是可以DP，设$f_{i,j}$表示深度$\leq i$，节点数为$j$的树的数量，枚举$j$在排列中的位置，有$f_{i,0}=1,f_{i,j}=\sum\limits_{k=0}^{j-1}f_{i-1,k}f_{i,j-1-k}$

设$f_{i,0\cdots n}$的生成函数为$F_i$，有$F_0=1,F_i=\frac1{1-xF_{i-1}}$

考场上就做到这里，$O(n^2\log n)$可以拿$70$分

$F_i$可以表示为$\frac{a_i}{b_i}$的形式，其中$a_i,b_i$都是$i$次多项式，推一下就可以矩阵快速幂

直接做显然不行，但因为是线性变换所以先DFT，对点值矩阵快速幂后IDFT回去即可

总时间复杂度$O(n\log n)$

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=998244353;
int mul(int a,int b){return(ll)a*b%mod;}
int ad(int a,int b){return(a+=b)>=mod?a-mod:a;}
int de(int a,int b){return(a-=b)<0?a+mod:a;}
int pow(int a,int b){
	int s=1;
	while(b){
		if(b&1)s=mul(s,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return s;
}
int rev[262144],N,iN;
void pre(int n){
	int i,k=0;
	for(N=1,k=0;N<n;N<<=1)k++;
	for(i=0;i<N;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
	iN=pow(N,mod-2);
}
void ntt(int*a,int on){
	int i,j,k,t,w,wn;
	for(i=0;i<N;i++){
		if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	}
	for(i=2;i<=N;i<<=1){
		wn=pow(3,on==1?(mod-1)/i:mod-1-(mod-1)/i);
		for(j=0;j<N;j+=i){
			w=1;
			for(k=0;k<i>>1;k++){
				t=mul(a[i/2+j+k],w);
				a[i/2+j+k]=de(a[j+k],t);
				a[j+k]=ad(a[j+k],t);
				w=mul(w,wn);
			}
		}
	}
	if(on==-1){
		for(i=0;i<N;i++)a[i]=mul(a[i],iN);
	}
}
int t1[262144];
void getinv(int*a,int*b,int n){
	if(n==1){
		b[0]=1;
		return;
	}
	getinv(a,b,n>>1);
	pre(n<<1);
	memset(t1,0,N<<2);
	memcpy(t1,a,n<<2);
	ntt(t1,1);
	ntt(b,1);
	for(int i=0;i<N;i++)b[i]=mul(b[i],de(2,mul(t1[i],b[i])));
	ntt(b,-1);
	memset(b+n,0,(N-n)<<2);
}
struct mat{
	int a[2][2];
	int*operator[](int k){return a[k];}
}t;
mat operator*(mat a,mat b){
	mat c;
	int i,j,k;
	ll t;
	for(i=0;i<2;i++){
		for(j=0;j<2;j++){
			t=0;
			for(k=0;k<2;k++)t+=(ll)a[i][k]*b[k][j];
			c[i][j]=t%mod;
		}
	}
	return c;
}
mat pow(mat a,int b){
	mat s;
	s[0][0]=s[1][1]=1;
	s[0][1]=s[1][0]=0;
	while(b){
		if(b&1)s=s*a;
		a=a*a;
		b>>=1;
	}
	return s;
}
int a[262144],b[262144],c[262144];
int main(){
	int n,m,i,k,wn,w;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	if(m>n){
		printf("0");
		return 0;
	}
	for(k=1;k<=n;k<<=1);
	pre(k*2);
	wn=pow(3,(mod-1)/N);
	w=1;
	for(i=0;i<N;i++){
		t[0][0]=0;
		t[0][1]=mod-w;
		t[1][0]=t[1][1]=1;
		t=pow(t,m);
		a[i]=ad(t[0][0],t[1][0]);
		b[i]=ad(t[0][1],t[1][1]);
		w=mul(w,wn);
	}
	ntt(b,-1);
	getinv(b,c,k);
	ntt(c,1);
	for(i=0;i<N;i++)a[i]=mul(a[i],c[i]);
	ntt(a,-1);
	printf("%d",a[n]);
}