QR分解与最小二乘

主要内容：

1、QR分解定义

2、QR分解求法

3、QR分解与最小二乘

4、Matlab实现

一、QR分解

R分解法是三种将矩阵分解的方式之一。这种方式，把矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的积。

QR 分解经常用来解线性最小二乘法问题。QR 分解也是特定特征值算法即QR算法的基础。

定义：

实数矩阵 A 的 QR 分解是把 A 分解为Q、R，这里的 Q 是正交矩阵（意味着 Q^TQ = I）而 R 是上三角矩阵。类似的，我们可以定义 A 的 QL, RQ 和 LQ 分解。

更一般的说，我们可以因数分解复数 m×n 矩阵（有着 m ≥ n）为 m×n 酉矩阵（在 Q^∗Q = I 的意义上）和n×n 上三角矩阵的乘积。

如果 A 是非奇异的，则这个因数分解为是唯一，当我们要求 R 的对角是正数的时候。

二、QR分解的求法

QR分解的实际计算有很多方法，例如Givens旋转、Householder变换，以及Gram-Schmidt正交化等等。每一种方法都有其优点和不足。

三、QR分解与最小二乘

最小二乘：

对给定数据点{(Xi，Yi)}(i=0,1，…，m），在取定的函数类Φ 中，求p(x）∈Φ，使误差的平方和E^2最小，E^2=∑[p(Xi)-Yi]^2。从几何意义上讲，就是寻求与给定点 {(Xi，Yi)}(i=0,1，…，m）的距离平方和为最小的曲线y=p(x)。函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

最小二乘的矩阵形式：Ax=b，其中A为nxk的矩阵，x为kx1的列向量，b为nx1的列向量。如果n>k（方程的个数大于未知量的个数），这个方程系统称为Over Determined System，如果n<k（方程的个数小于未知量的个数），这个系统就是Under Determined System。

最小二乘与QR分解:

正常来看，这个方程是没有解的，但在数值计算领域，我们通常是计算 min ||Ax-b||，解出其中的x。比较直观的做法是求解A'Ax=A'b，但通常比较低效。其中一种常见的解法是对A进行QR分解（A=QR），其中Q是nxk正交矩阵（Orthonormal Matrix），R是kxk上三角矩阵（Upper Triangular Matrix），然后min ||Ax-b|| = min ||QRx-b|| = min ||Rx-Q'b||，用MATLAB命令x=R\(Q'*b）可解得x。

最小二乘的Matlab实现：

① 一次函数使用polyfit（x,y,1）

②多项式函数使用 polyfit（x,y,n），n为次数

拟合曲线

x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，

y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。

解：MATLAB程序如下：

x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];

y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];

p=polyfit(x,y,2)

x1=0.5:0.5:3.0;

y1=polyval(p,x1);

plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')

计算结果为：

p =0.5614 0.8287 1.1560

即所得多项式为y=0.5614x^2+0.8287x+1.15560

③非线性函数使用 lsqcurvefit(fun,x0,x,y)

四、QR分解的Matlab实现

[Q,R]=qr(A) or [Q,R]=qr(A,0) (二者的区别自行help或doc一下)

其中Q代表正规正交矩阵，

而R代表上三角形矩阵。

此外，原矩阵A不必为正方矩阵；如果矩阵A大小为n*m，则矩阵Q大小为n*m，矩阵R大小为m*m。

五、参考文献：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_64367bb90100ikji.html

http://www.360doc.com/content/13/1015/09/12712639_321543226.shtml