【矩阵】RQ/QR 分解

Multiple View Geometry in Computer Vision A.4.1.1 (page 579)

将一个 3x3 矩阵 $ A $ 进行 RQ 分解是将其分解成为一个上三角阵 $ R $ 与一个正交阵（orthogonal matrix） $ Q $ 的乘积。要求矩阵 $ A $ 的秩为3，即满秩。

所谓矩阵 $ Q $ 正交是指 $ Q^TQ=I $， $ Q $ 可以看作是一个旋转矩阵。此旋转矩阵由三个子旋转矩阵点乘而来，即 $ Q = Q_xQ_yQ_z $ 。$ Q_x, Q_y, Q_z $ 如下：

\[
Q_x = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos (roll) & -\sin (roll)\\
0 & \sin (roll) & \cos (roll) \\
\end{bmatrix}
\]

\[
Q_y = \begin{bmatrix}
\cos (pitch) & 0 & \sin (pitch) \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin (pitch) & 0 & \cos (pitch) \\
\end{bmatrix}
\]

\[
Q_z = \begin{bmatrix}
\cos (yaw) & -\sin (yaw) & 0 \\
\sin (yaw) & \cos (yaw) & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\]

将矩阵 $ A $ 右乘一个矩阵，相当于将 $ A $ 进行一次初等列变换。

由 \[ A = RQ = RQ_z^TQ_y^TQ_x^T \] 得 \[ AQ_xQ_yQ_z = R \]

将 $ A $ 右乘 $ Q_x $ 是将 $ A $ 的第一列保持不变，第二列和第三列进行线性组合，解释如下：

\[ A = \begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
A_{31} & A_{32} & A_{33}
\end{bmatrix} \]

\[ AQ_x = \begin{bmatrix}
A_{11} & cA_{12} + sA_{13} & -sA_{12} + cA_{13} \\
A_{21} & cA_{22} + sA_{23} & -sA_{22} + cA_{23} \\
A_{31} & cA_{32} + sA_{33} & -sA_{32} + cA_{33}
\end{bmatrix} \]

上式省略了 $ roll $ ，将 $ [AQ_x]_{32} $ 置为0。加上 \(c^2 + s^2 = 1\) 的条件，可以算出 \(c, s\)，求得 $ Q_x $ 。

$ AQ_x $ 的结果右乘 $ Q_y $ 是将第二列保持不变，第一列和第三列进行线性组合，将 $ [AQ_xQ_y]_{31} $ 置为0，求得 $ Q_y $ 。

$ AQ_xQ_y $ 的结果右乘 $ Q_z $ 是将第三列保持不变，第一列和第二列进行线性组合，将 $ [AQ_xQ_yQ_z]_{21} $ 置为0，求得 $ Q_x $ 。

经过三次右乘（初等列变换）可以得到上三角阵 $ R $ 。

最后由计算得到的 $ Q_x, Q_y, Q_z $ 通过 $ Q = Q_z^TQ_y^TQ_x^T $ ，得到 $ A $ 的 RQ 分解。

对于 QR、LQ、QL 分解使用类似的方式进行计算。QR 与 QL 分解是将矩阵 $ A $ 进行初等行变换。