LCS问题（最长公共子序列）-动态规划实现

问题描述：

问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列

注意：

并不要求子串（字符串一）的字符必须连续出现在字符串二中。

思路分析：

最优子结构和重叠子问题的性质都具有，所以要采取动态规划的算法

最长公共子序列的结构

设序列X=x1, x2, …, xm和Y=y1, y2, …, yn的一个最长公共子序列Z=z1, z2, …, zk，则：

1.若xm=yn，则zk=xm=yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列；

2.若xm≠yn且zk≠xm ，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列；

3.若xm≠yn且zk≠yn ，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。

其中Xm-1=x1, x2, …, xm-1，Yn-1=y1, y2, …, yn-1，Zk-1=z1, z2, …, zk-1。

子问题的递归结构

由最长公共子序列问题的最优子结构性质可知，要找出X=x1, x2, …, xm和Y=y1, y2, …, yn的最长公共子序列，可按以下方式递归地进行：当xm=yn时，找出Xm-1和Yn-1的最长公共子序列，然后在其尾部加上xm(=yn)即可得X和Y的一个最长公共子序列。当xm≠yn时，必须解两个子问题，即找出Xm-1和Y的一个最长公共子序列及X和Yn-1的一个最长公共子序列。这两个公共子序列中较长者即为X和Y的一个最长公共子序列。

由此递归结构容易看到最长公共子序列问题具有子问题重叠性质。

例如，在计算X和Y的最长公共子序列时，可能要计算出X和Yn-1及Xm-1和Y的最长公共子序列。而这两个子问题都包含一个公共子问题，即计算Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。

与矩阵连乘积最优计算次序问题类似，我们来建立子问题的最优值的递归关系。用c[i,j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。其中Xi=x1, x2, …, xi，Yj=y1, y2, …, yj。

当i=0或j=0时，空序列是Xi和Yj的最长公共子序列，故c[i,j]=0。其他情况下，由定理可建立递归关系如下：

代码：

public class ComSubstr {  

    public static void main(String[] arg) {
        String a = "blog.csdn.net";
        String b = "csdn.blogt";
        comSubstring(a, b);
    }  

    private static void comSubstring(String str1, String str2) {
        char[] a = str1.toCharArray();
        char[] b = str2.toCharArray();
        int a_length = a.length;
        int b_length = b.length;
        int[][] lcs = new int[a_length + 1][b_length + 1];
        // 初始化数组
        for (int i = 0; i <= b_length; i++) {
            for (int j = 0; j <= a_length; j++) {
                lcs[j][i] = 0;
            }
        }
        for (int i = 1; i <= a_length; i++) {
            for (int j = 1; j <= b_length; j++) {
                if (a[i - 1] == b[j - 1]) {
                    lcs[i][j] = lcs[i - 1][j - 1] + 1;
                }
                if (a[i - 1] != b[j - 1]) {
                    lcs[i][j] = lcs[i][j - 1] > lcs[i - 1][j] ? lcs[i][j - 1]
                            : lcs[i - 1][j];
                }
            }
        }
        // 输出数组结果进行观察
        for (int i = 0; i <= a_length; i++) {
            for (int j = 0; j <= b_length; j++) {
                System.out.print(lcs[i][j]+",");
            }
            System.out.println("");
        }
        // 由数组构造最小公共字符串
        int max_length = lcs[a_length][b_length];
        char[] comStr = new char[max_length];
        int i =a_length, j =b_length;
        while(max_length>0){
            if(lcs[i][j]!=lcs[i-1][j-1]){
                if(lcs[i-1][j]==lcs[i][j-1]){//两字符相等，为公共字符
                    comStr[max_length-1]=a[i-1];
                    max_length--;
                    i--;j--;
                }else{//取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列
                    if(lcs[i-1][j]>lcs[i][j-1]){
                        i--;
                    }else{
                        j--;
                    }
                }
            }else{
                i--;j--;
            }
        }
        System.out.print("最长公共字符串是：");
        System.out.print(comStr);
    }
}

输出结果：

0,0,0,0,0,0,1,2,2,2,2,
0,0,0,0,0,0,1,2,3,3,3,
0,0,0,0,0,0,1,2,3,4,4,
0,0,0,0,0,1,1,2,3,4,4,
0,1,1,1,1,1,1,2,3,4,4,
0,1,2,2,2,2,2,2,3,4,4,
0,1,2,3,3,3,3,3,3,4,4,
0,1,2,3,4,4,4,4,4,4,4,
0,1,2,3,4,5,5,5,5,5,5,
0,1,2,3,4,5,5,5,5,5,5,
0,1,2,3,4,5,5,5,5,5,5,
0,1,2,3,4,5,5,5,5,5,6,
最长公共字符串是：csdn.t  

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参考：

http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6110269

http://www.programgo.com/article/74411986718/