1009E Intercity Travelling 【数学期望】

题目：戳这里

题意：从0走到n，难度分别为a1~an，可以在任何地方休息，每次休息难度将重置为a1开始。求总难度的数学期望。

解题思路：

跟这题很像，利用期望的可加性，我们分析每个位置的状态，不管怎么休息位置1的难度永远是a1，因此其期望为a1*2^(n-1)，其他点出现a1的话，说明上一个点绝对休息过，剩下的都与其无关，也就是2^(n-2)，所有的统计起来，则a1的出现次数为2^(n-1)+(n-1)*2^(n-2)。同理求a2,a2绝对不会出现在位置1，而出现在位置2时，只会影响位置1，出现在其他点，会影响其前两个点，则a2的出现次数为2^(n-2)+(n-2)*2^(n-3)，再推推a3,a4，基本可以推出这个公式E[i]=(2^(n-i)+(n-i)*2^(n-i-1))*a[i]。

注意这题卡时间，不要用快速幂。

附本人代码：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 typedef long long ll;
 3 const int maxn = 1e6+10;
 4 const ll inf = 1e18;
 5 const ll mod = 998244353;
 6 using namespace std;
 7 ll qmul(ll a, ll b) {
 8     ll res = 0;
 9     while(b) {
10         if(b&1) res = (res + a) % mod;
11         b>>=1;
12         a = (a + a) % mod;
13     }
14     return res;
15 }
16 ll qmod(ll a, ll b) {
17     ll res = 1;
18     while(b) {
19         if(b&1) res = qmul(res, a) % mod;
20         b>>=1;
21         a = qmul(a,a)%mod;
22     }
23     return res;
24 }
25 ll rec[maxn];
26 ll nu[maxn];
27 int main(){
28     ll n, m;
29     scanf("%lld", &n);
30     rec[0]=1ll;
31     for(ll i = 1; i <= n; ++i) {
32         rec[i] = qmul(2ll, rec[i-1]);
33     }
34     for(ll i = 1; i <= n; ++i) {
35         scanf("%lld", nu+i);
36     }
37     ll ans = 0;
38     for(ll i = 1; i <= n; ++i) {
39         ans = (ans + qmul(nu[i], rec[n-i] + qmul(n-i, rec[n-i-1ll]))) %mod;
40     }
41     printf("%lld\n", ans);
42     return 0;
43 }