算法：矩阵连乘(Java)动态规划

Description

给你2个矩阵A、B，我们使用标准的矩阵相乘定义C=AB如下： A数组中栏（column）的数目一定要等于B数组中列（row）的数目才可以做此2数组的相乘。若我们以rows(A)，columns(A)分别代表A数组中列及栏的数目，要计算C数组共需要的乘法的数目为：rows(A)columns(B)columns(A)。例如：A数组是一个 10x20的矩阵，B数组是个20x15的矩阵，那么要算出C数组需要做101520，也就是3000次乘法。要计算超过2个以上的矩阵相乘就得决定要用怎样的顺序来做。

例如：X、Y、Z都是矩阵，要计算XYZ的话可以有2种选择：(XY)Z 或者 X(YZ)。

假设X是5x10的数组，Y是10x20的数组，Z是20x35的数组，那个不同的运算顺序所需的乘法数会有不同：

(XY)Z

5 * 20 * 10 = 1000次乘法完成(XY)，并得到一5x20的数组。
5 * 35 * 20 = 3500次乘法得到最后的结果。
总共需要的乘法的次数：1000+3500=4500。

X(YZ)

10 * 35 * 20 = 7000次乘法完成(YZ)，并得到一10x35的数组。
5 * 35 * 10 = 1750次乘法得到最后的结果。
总共需要的乘法的次数：7000 +1750 = 8750。

很明显的，我们可以知道计算(XY)Z会使用较少次的乘法。这个问题是：给你一些矩阵，你要写一个程序来决定该如何相乘的顺序，使得用到乘法的次数会最少。

Input

含有多组测试数据，每组测试数据的第一列，含有1个整数N（N <= 10）代表有多少个数组要相乘。接下来有N对整数，代表一数组的列数及栏数。这N个数组的顺序与要你相乘的数组顺序是一样的。N=0代表输入结束。请参考Sample Input。

Output

每组测试数据输出一列，内容为矩阵相乘的顺序（以刮号来表示）使得所用的乘法次数最小。如果有不只一组答案，输出任一组均可。请参考Sample Output。

Sample Input

Sample Output

Case 1: (A1 x (A2 x A3))

Case 2: ((A1 x A2) x A3)

Case 3: ((A1 x (A2 x A3)) x ((A4 x A5) x A6))

递归关系:

$$ m[i][j] = \begin{cases} 0 &\ i == j \\ \min_{i \le k \lt j} \{ m[i][k] + m[k+1][j] + p_{i-1}*p_k*p_j \} &\ i<j \end{cases} $$

数组m[n][n]存储最优值

数组s[n][n]存储最优时分割的位置

import java.util.Scanner;

public class Main {

    static int count = 0;

    public static void main(String[] args) {

        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        int p[], m[][], s[][];

        while (sc.hasNextInt()) {

            int n = sc.nextInt();

            if (n == 0)

                break;

            p = new int[n + 1];

            m = new int[n + 1][n + 1];

            s = new int[n + 1][n + 1];

            for (int i = 0; i < n; i++) {

                p[i] = sc.nextInt();

                p[i + 1] = sc.nextInt();

            }

            matrixChain(p, m, s);

            System.out.printf("Case %d: ", ++count);

            print(1, n, s);

            System.out.print('\n');

            // printmAnds(n, m, s);

        }

        sc.close();

    }

    public static void matrixChain(int p[], int m[][], int s[][]) {

        int n = p.length - 1;

        for (int i = 1; i <= n; i++)

            m[i][i] = 0;

        for (int r = 2; r <= n; r++) {

            for (int i = 1; i <= n - r + 1; i++) {

                int j = i + r - 1;

                m[i][j] = m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];

                s[i][j] = i;

                for (int k = i + 1; k < j; k++) {

                    int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];

                    if (t < m[i][j]) {

                        m[i][j] = t;

                        s[i][j] = k;

                    }

                }

            }

        }

    }

    public static void print(int i, int j, int s[][]) {

        if (i == j) {

            System.out.print("A" + i);

            return;

        }

        else {

            System.out.print("(");

            print(i, s[i][j], s);

            System.out.print(" x ");

            print(s[i][j] + 1, j, s);

            System.out.print(")");

        }

    }

//    public static void printmAnds(int n, int m[][], int s[][]){

//        System.out.printf("m[%d][%d]: \n", n, n);

//        for (int i = 1; i <= n; i++) {

//            System.out.print(m[i][1]);

//            for (int j = 2; j <= n; j++) {

//                System.out.print("\t" + m[i][j]);

//            }

//            System.out.print('\n');

//        }

//

//        System.out.printf("s[%d][%d]: \n", n, n);

//        for (int i = 1; i <= n; i++) {

//            System.out.print(s[i][1]);

//            for (int j = 2; j <= n; j++) {

//                System.out.print("\t" + s[i][j]);

//            }

//            System.out.print('\n');

//        }

//    }

}