问题描述

n个人围成一圈,号码为1-n,从1开始报数,报到2的退出,剩下的继续从1开始报数,求最后一个人的号码。

算法分析

最直观的算法是用循环链表模拟。从首节点开始,不断删除第二个节点,直到只剩一个节点为止。时间复杂度是O(2n).

typedef struct josephusnode{
struct josephusnode *next;
int item;
}jnode; int listjosephus(jnode *head){
jnode *n = head;
while(n->next!=n){
jnode *t = n->next;
n->next = t->next;
n = n->next;
free(t);
}
int retv = n->item;
free(n);
return retv;
}

更简单的方法是数学推导。Donald E. Knuth的《具体数学》有很详细精彩的推导过程,Josephus数具有这样的递归式:

j(1)=1

j(2n)=2j(n)-1

j(2n+1)=2j(n)+1

总结发现j(2m+n)=2n+1,代码很简单:

int mathjosephus(int n){
int x=n, y=n;
while(n){
y = n;
n &= n-;
}
x = ~y&x;
x = +(x<<);
return x;
}

参考:

《具体数学》

code:

https://github.com/coderkian/algorithm/blob/master/josephus.c

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