【BZOJ 2822】2822: [AHOI2012]树屋阶梯（卡特兰数+高精度）

2822: [AHOI2012]树屋阶梯

Description

暑假期间，小龙报名了一个模拟野外生存作战训练班来锻炼体魄，训练的第一个晚上，教官就给他们出了个难题。由于地上露营湿气重，必须选择在高处的树屋露营。小龙分配的树屋建立在一颗高度为N+1尺（N为正整数）的大树上，正当他发愁怎么爬上去的时候，发现旁边堆满了一些空心四方钢材（如图1.1），经过观察和测量，这些钢材截面的宽和高大小不一，但都是1尺的整数倍，教官命令队员们每人选取N个空心钢材来搭建一个总高度为N尺的阶梯来进入树屋，该阶梯每一步台阶的高度为1尺，宽度也为1尺。如果这些钢材有各种尺寸，且每种尺寸数量充足，那么小龙可以有多少种搭建方法？（注：为了避免夜里踏空，钢材空心的一面绝对不可以向上。）

以树屋高度为4尺、阶梯高度N=3尺为例，小龙一共有如图1.2所示的5种

搭 建方法：

Input

一个正整数 N(1≤N≤500)，表示阶梯的高度

Output

一个正整数，表示搭建方法的个数。（注：搭建方法个数可能很大。）

Sample Input

3

Sample Output

5

HINT

1  ≤N≤500

Source

【分析】

　　这个卡特兰数的模型很经典吧，我之前的总结里面也应该有的。

　　看图显然卡特兰数。高精度。用分解质因数的方法，就是高精乘低精而已。

　　然后简单说说为什么是卡特兰数？

　　

　　看下面那个很丑的图，编号的那些格子是角落的，很明显是两两不能处于同一块木板的。

　　就是说这7个格子正好处在7块不同的木板上。（你刚好要用7块木板）

　　然后？的一定在某一块模板上。比如跟4一个木板，第二个图，就变成两个3阶梯的子问题。

　　如果跟6一个板，就变成一个5阶梯和一个1阶梯的子问题。
　　就是f[n]=f[0]*f[n-1]+f[1]*f[n-2]+...f[n-1]*f[0]

　　这个是卡特兰数的一种定义。

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define Maxn 510
 #define Maxm 2010

 int num[Maxn*];

 void add(int x,int c)
 {
     for(int i=;i*i<=x;i++) if(x%i==)
     {
         while(x%i==) num[i]+=c,x/=i;
     }
     if(x!=) num[x]+=c;
 }

 int ans[Maxm],ll;

 void mul(int x)
 {
     for(int i=;i<=ll;i++) ans[i]*=x;
     for(int i=;i<=ll;i++)
     {
         ans[i+]+=ans[i]/;
         ans[i]%=;
     }
     while(ans[ll+]!=)
     {
         ans[ll+]+=ans[ll+]/;
         ans[ll+]%=;
         ll++;
     }
 }

 int main()
 {
     int n;
     scanf("%d",&n);
     memset(num,,sizeof(num));
     for(int i=n+;i<=*n;i++) add(i,);
     for(int i=;i<=n+;i++) add(i,-);
     memset(ans,,sizeof(ans));
     ans[]=;ll=;
     for(int i=;i<=*n;i++) if(num[i])
     {
         while(num[i]>) mul(i),num[i]--;
     }
     for(int i=ll;i>=;i--) printf("%d",ans[i]);printf("\n");
     return ;
 }

2017-03-23 16:11:36