最小生成树(MST)[简述][模板]

Prim(添点法)

1. 任选一点(一般选1), 作为切入点,设其与最小生成树的距离为0(实际上就是选一个点,将此树实体化),.

2. 在所有未选择的点中选出与最小生成树距离最短的, 累计其距离, 并标为已选. 若都选择了, 则得到了最小生成树(的总路长).

3. 更新与此点相邻的点"与最小生成树的距离".返回2.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 1003
#define inf 0x3f3f3f3f
struct node {
    int v, w;
    node () {}
    node(int _v, int _w) : v(_v), w(_w) {}
};
vector<node> g[N];
int n, m, d[N];
bool vis[N];

int prim() {
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    int ans = d[1] = 0;
    for (int i=0; i<n; i++) {
        int k = 0, mi = inf;
        for (int j=1; j<=n; j++) if (!vis[j] && d[j] < mi)
            mi = d[j], k = j;
        if (k == 0) break;
        vis[k] = true;
        ans += mi;
        for (int j=0, u; j<g[k].size(); j++)
            if (!vis[u = g[k][j].v] && d[u] > g[k][j].w)
                d[u] = g[k][j].w;///和Dijkstra很像,只是这里由松弛操作改成了更新
    }///此处的d表示与树的距离
    return ans;///返回的是最小生成树的边长和
}
int main() {

    while (scanf("%d%d", &n, &m) == 2) {
        for (int i=0; i<=n; i++) g[i].clear();
        for (int i=0, a, b, c; i<m; i++) {
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            g[a].push_back(node(b, c));
            g[b].push_back(node(a, c));
        }
        printf("%d\n", prim());
    }

    return 0;
}

Kruskal(添边法)

1. 将所有点加入并查集, 每个点都是独立的集合

2. 将所有边按长度排序.

3. 拿出最小边, 判断两顶点是否在同一集合, 直到边集为空. 若是, 舍弃, 返回3. 若不是, 将左顶点加入右顶点之集合(左右都是无所谓的~), 返回3.

4. 若边集为空,则得到最小生成树.

并查集按惯例使用路径压缩.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
#define N 1002
struct node {
    int u, v, w;
    node() {}
    node(int _u, int _v, int _w):u(_u), v(_v), w(_w) {}
};
vector<node> edge;
int n, m, f[N];
bool cmp(const node &x, const node &y) {
    return x.w < y.w;
}
int find_set(int x) {
    if (f[x] == x) return x;
    return f[x] = find_set(f[x]);
}

int Kruskal() {
    sort(edge.begin(), edge.end(), cmp);
    for (int i=1; i<=n; i++) f[i] = i;///将所有点加入并查集,自己是一个独立的集合
    int ans = 0;
    for (int i=0, u, v, w; i<edge.size(); i++) {///排序之后只要挨着拿就行
        u = edge[i].u, v = edge[i].v, w = edge[i].w;
        u = find_set(u), v = find_set(v);
        if (u == v) continue;
        f[u] = v;///这个是随便的,虽然会引起效率上的不稳定,但是一次路径压缩之后就都一样了..
        ans += w;
    }
    return ans;
}
int main() {
    while (scanf("%d%d", &n, &m) == 2) {
        edge.clear();
        for (int i=0, a, b, c; i<m; i++) {
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            edge.push_back(node(a, b, c));///两端点是平等的,插入一次即可
        }
        printf("%d\n", Kruskal());
    }
    return 0;
}