洛谷 P3197 [HNOI2008]越狱 解题报告

P3197 [HNOI2008]越狱

题目描述

监狱有连续编号为\(1…N\)的\(N\)个房间，每个房间关押一个犯人，有\(M\)种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱。

输入输出格式

输入格式：

输入两个整数 \(M，N\)

输出格式：

可能越狱的状态数，模100003取余

说明

\(1≤M≤10^8\)

\(1≤N≤10^{12}\)

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我们发现，直接求发生越狱的状态不是不可能，但时间复杂度过不去，很难用矩阵乘法优化。

不妨反其道而行之，采用补集转换的思想

我们先求出所有可能的宗教分布，为\(M^N\)

然后减去所有不可能发生越狱的情况，为\(M*(M-1)^{N-1}\)，即第一个房间有\(M\)种选择，其余房间因为要保证和前一个房间不同，所以只有\(M-1\)种选择

然后直接上快速幂即可

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Code:

#include <cstdio>
#define ll long long
const ll mod=100003;
ll n,m,ans;
ll quick_pow(ll c,ll k)
{
    ll f=1;
    while(k)
    {
        if(k&1)
            f=f*c%mod;
        c=c*c%mod;
        k>>=1;
    }
    return f;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&m,&n);
    ans=((quick_pow(m,n)-quick_pow(m-1,n-1)*m%mod)%mod+mod)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

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2018.7.7