二次剩余定理及Cipolla算法入门到自闭

二次剩余定义：

在维基百科中，是这样说的：如果q等于一个数的平方模 n，则q为模 n 意义下的二次剩余。例如：x²≡n(mod p)。否则，则q为模n意义下的二次非剩余。

Cipolla算法：一个解决二次剩余强有力的工具，用来求得上式的x的一个算法。

需要学习的数论及数学基础：勒让德符号、欧拉判别准则和复数运算。

勒让德符号：判断n是否为p的二次剩余，p为奇质数。

欧拉定理为x^φ(p)≡1(mod p)

当p为素数时，可知φ(p)=p-1，转化为x^p-1≡1(mod p)

开根号后为 x^(p−1)/2≡±1(mod p)，如果等于1就肯定开的了方，为-1一定开不了。所以x是否为n的二次剩余就用这个欧拉判别准则。

qpow(n,(mod-)>>)==mod-

随机找数a,使得a²−n为复数的虚数单位的平方，即

随机一个数a，然后对a²−n进行开方操作（就是计算他勒让德符号的值），直到他们的勒让德符号为-1为止（就是开不了方为止）。 就是找到一个a满足(a²−n)^(p−1)/2=−1。

    LL a=;
    while(qpow((a*a-n+mod)%mod,(mod-)>>)!=mod-)  a=rand()%mod;

建立复数乘法运算（(a+bi)(c+di)=(ac+bd*(-1))+(bc+ad)i）

建立一个类似的域，前面寻找了一个a使(a²−n)^(p−1)/2=−1，所以我们定义ω=√(a2−n)。那么现在的ω也像i一样，满足ω²=a²−n=-1

node two(node a,node b)//复数相乘
{
    node ans;
    ans.x=(a.x*b.x%mod+a.y*b.y%mod*w%mod)%mod;
    ans.y=(a.x*b.y%mod+a.y*b.x%mod)%mod;
    return ans;
}

答案=(a+ω)^(p+1)/2

根据拉格朗日定理，可以得出虚数处的系数一定为0。

 node q_pow(node a,LL b){
     node res;
     res.x=,res.y=;
     while(b){
         if(b&)res=two(res,a);
         a=two(a,a);
         b>>=;
     }
     return res;
 }

     node p;
     p.x=a,p.y=,w=(a*a-n+mod)%mod;
     node ans=q_pow(p,(mod+)>>);
     return ans.x;

2019牛客多校训练营第九场B题为Cipolla算法模板题

 #include<bits/stdc++.h>
 #define LL long long
 using namespace std;
 const LL mod=1e9+;
 struct node
 {
     LL x,y;
 };
 LL w;
 node two(node a,node b)//复数相乘
 {
     node ans;
     ans.x=(a.x*b.x%mod+a.y*b.y%mod*w%mod)%mod;
     ans.y=(a.x*b.y%mod+a.y*b.x%mod)%mod;
     return ans;
 }
 node q_pow(node a,LL b)
 {
     node res;
     res.x=,res.y=;
     while(b)
     {
         if(b&)
             res=two(res,a);
         a=two(a,a);
         b>>=;
     }
     return res;
 }
 LL qpow(LL a,LL b)
 {
     LL ans=;
     a%=mod;
     while(b)
     {
         if(b&)
             ans=ans*a%mod;
         a=a*a%mod,b>>=;
     }
     return ans;
 }
 LL solve(LL n)
 {
     if(qpow(n,(mod-)>>)==mod-)//勒让德符号
         return -;
     else if(n==)
         return ;
     LL a=;//找随机a
     while(qpow((a*a-n+mod)%mod,(mod-)>>)!=mod-)//勒让德符号
         a=rand()%mod;
     node p;
     p.x=a,p.y=,w=(a*a-n+mod)%mod;
     node ans=q_pow(p,(mod+)>>);//求出答案
     return ans.x;
 }
 int main()
 {
     int T;
     scanf("%d",&T);
     LL q,b,n,x,y,c,t=qpow(,mod-);
     while(T--)
     {
         scanf("%lld%lld",&b,&c);
         q=(b*b-*c+mod)%mod;
         n=solve(q);
         if(n==-)
         {
             printf("-1 -1\n");
             continue;
         }
         x=((b+n)%mod)*t%mod,y=(b-x+mod)%mod;
         if(x>y)
             swap(x,y);
         printf("%lld %lld\n",x,y);
     }
     return ;
 }