LG4783 【模板】矩阵求逆

P4783 【模板】矩阵求逆

题目描述

求一个$N\times N$的矩阵的逆矩阵。答案对$10^9+7$取模。

输入输出格式

输入格式：

第一行有一个整数$N$，代表矩阵的大小；

从第$2$行到第$N+1$行，每行$N$个整数，其中第$i+1$行第$j$列的数代表矩阵中的元素$a_{ij}$。

输出格式：

若矩阵可逆，则输出$N$行，每行$N$个整数，其中第$i$行第$j$列的数代表逆矩阵中的元素 $b_{ij}$，答案对$10^9+7$取模；

否则只输出一行 No Solution。

输入输出样例

输入样例#1：
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3
1 2 8
2 5 6
5 1 2

输出样例#1：
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718750005 718750005 968750007
171875001 671875005 296875002
117187501 867187506 429687503

输入样例#2：
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3
3 2 4
7 2 9
2 4 3

输出样例#2：
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No Solution

说明

对30%的数据有$N\le 100$；

对100%的数据有$N\le 400$，所有$a_{ij}<10^9+7$。

ps.TLE的同学可以试试大力卡常，标算不开O2勉强能卡过去的

bztMinamoto的题解

定义矩阵的三种初等行变换：

1. 交换某两行。

2. 将某一行的所有元素乘上\(k\)(\(k\neq 0\))。

3. 将某一行的所有元素乘上\(k\)加到另一行去。

每一个初等变换都对应一个初等矩阵，即矩阵\(A\)做某一线性变换等价于用一个对应的初等矩阵左乘\(A\)。若有一堆初等变换\(1,2,...l\)，对应的初等矩阵分别为\(P_1,P_2,...,P_l\)，那么经过这些线性变换后的矩阵即为\(P_l....P_2P_1A=PA\)（\(P\)为之前那堆东西的乘积）。

对于一个矩阵\(A\)，\(A\)可逆的充分必要条件是\(A\)经过若干次初等行变换可以变成\(E\)（\(E\)即单位矩阵），即存在一个矩阵\(P\)使得\(PA=E\)，则\(P=A^{-1}\)。

通过初等行变换使得\(A\)变为\(E\)并不困难，可以用高斯消元解决，先消成上三角矩阵，然后再消成对角矩阵。

考虑怎么求出\(P\)，因为有\(PA=E,PE=P\)，如果我们同时维护两个矩阵\(A,B\)，令\(B\)一开始时等于\(E\)，在把\(A\)变为\(E\)的过程中对\(B\)也做相等的初等变换，那么当\(A\)变为\(E\)时，\(B\)也就变为了\(P\)（因为做初等行变换等价于被对应的初等矩阵左乘）。

如果在高斯消元的过程中发现无法将\(A\)变为\(E\)，输出无解即可。\(O(n^3)\)。

注意为了卡常我们可以只对\(A\)的下三角消元，但是不能对\(B\)这样做，道理显然。

#include<bits/stdc++.h>
#define co const
#define il inline
using namespace std;
typedef long long LL;

co int mod=1000000000+7;
il int add(int a,int b){
    return (a+=b)>=mod?a-mod:a;
}
il int mul(int a,int b){
    return (LL)a*b%mod;
}
int fpow(int a,int b){
    int ans=1;
    for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))
        if(b&1) ans=mul(ans,a);
    return ans;
}

co int N=401;
int n,a[N][N],b[N][N];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;b[i][i]=1,++i)
        for(int j=1;j<=n;++j) scanf("%d",a[i]+j);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if(!a[i][i]){
            for(int j=i+1;j<=n;++j)
                if(a[j][i]) {swap(a[i],a[j]),swap(b[i],b[j]);break;}
        }
        if(!a[i][i]) return puts("No Solution"),0;
        int inv=fpow(a[i][i],mod-2);
        for(int k=1;k<=n;++k) a[i][k]=mul(a[i][k],inv),b[i][k]=mul(b[i][k],inv); // edit !:do all
        for(int j=1;j<=n;++j)if(j!=i){
            int coef=a[j][i];
            for(int k=1;k<=n;++k) a[j][k]=add(a[j][k],mod-mul(coef,a[i][k])),b[j][k]=add(b[j][k],mod-mul(coef,b[i][k]));
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;puts(""),++i)
        for(int j=1;j<=n;++j) printf("%d ",b[i][j]);
    return 0;
}