HDU 2516 取石子游戏 （找规律）

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Problem Description

1堆石子有n个,两人轮流取.先取者第1次可以取任意多个，但不能全部取完.以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍。取完者胜.先取者负输出"Second win".先取者胜输出"First win".

Input

输入有多组.每组第1行是2<=n<2^31. n=0退出.

Output

先取者负输出"Second win". 先取者胜输出"First win".

参看Sample Output.

Sample Input

2
13
10000
0

Sample Output

Second win
Second win
First win

分析：

这是一道Fibonacci’s Game（斐波那契博弈）

斐波那契博弈模型，大致上是这样的：

有一堆个数为 n 的石子，游戏双方轮流取石子，满足：

\1. 先手不能在第一次把所有的石子取完；

\2. 之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）。

约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

（转）分析：

n = 2时输出second；

n = 3时也是输出second；

n = 4时，第一个人想获胜就必须先拿1个，这时剩余的石子数为3，此时无论第二个人如何取，第一个人都能赢，输出first；

n = 5时，first不可能获胜，因为他取2时，second直接取掉剩下的3个就会获胜，当他取1时，这样就变成了n为4的情形，所以输出的是second；

n = 6时，first只要去掉1个，就可以让局势变成n为5的情形，所以输出的是first；

n = 7时，first取掉2个，局势变成n为5的情形，故first赢，所以输出的是first；

n = 8时，当first取1的时候，局势变为7的情形，第二个人可赢，first取2的时候，局势变成n为6得到情形，也是第二个人赢，取3的时候，second直接取掉剩下的5个，所以n = 8时，输出的是second；

…………

从上面的分析可以看出，n为2、3、5、8时，这些都是输出second，即必败点，仔细的人会发现这些满足斐波那契数的规律，可以推断13也是一个必败点。

借助“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。n=12时，只要谁能使石子剩下8且此次取子没超过3就能获胜。因此可以把12看成8+4，把8看成一个站，等价与对4进行"气喘操作"。又如13，13=8+5，5本来就是必败态，得出13也是必败态。也就是说，只要是斐波那契数，都是必败点。

所以我们可以利用斐波那契数的公式：fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]，只要n是斐波那契数就输出second。

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n,fib[45];
    int i,flag;
    fib[0]=2;
    fib[1]=3;
    for(i=2; i<45; i++)
        fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
    while(cin>>n&&n)
    {
        flag=0;
        for(i=0; i<45; i++)
            if(fib[i]==n)
            {
                cout<<"Second win\n";
                flag=1;
                break;
            }
        if(flag==0)
            cout<<"First win\n";
    }
    return 0;
}