lightoj1132—Summing up Powers （取膜技巧&&组合数应用）

题目链接：https://vjudge.net/problem/LightOJ-1132

题目意思：(1^K + 2^K + 3^K + ... + N^K) % 2³²

矩阵快速幂的题目一般都很短，这道题也一样就是这么简单。

思路：运用到了组合数a^k=C(k,0)*a^k+C(k,1)*a^(k-1)+C(k,2)*a^(k-2)+C(k,3)*a^(k-3)+C(k,4)*a^(k-4)+……C(k,k)*a^(k-k)，运用这个式子我们可以构造以下矩阵。

 C(k,),   C(k,),   C(k,),   C(k,)………… …… C(k,k) 　　      (n-)^k            (n)^k
 C(k-,), C(k-,), C(k-,), C(k-,)…………C(k-,k-) 　　    (n-)^(k-)        (n)^(k-)
 C(k-,), C(k-,), C(k-,), C(k-,)…………C(k-,k-) 　　    (n-)^(k-)        (n)^(k-)
 C(k-,), C(k-,), C(k-,), C(k-,)…………C(k-,k-) 　　    (n-)^(k-)    =   (n)^(k-)
 ……………………                                         　  *　　0
 ……………………                                 　　　　　　　　　
 ……………………                                         　　　　
 C(,), C(,), C(,), C(,)                               (n-)^()          (n)^()
 C(,), C(,), C(,)                                       (n-)^()          (n)^()
 C(,), C(,)                                               (n-)^()          (n)^()
 C(k,),   C(k,),   C(k,),   C(k,)………… …… C(k,k)　　　　     s(n-)             s[n]

还有一点这道题有一个奇怪的mod数2^32对于这个膜数我们采用unsigned int自然溢出就好了，如果直接mod就会超时，这一点在以后遇到这个mod数的时候需要注意。

代码：

 //Author: xiaowuga
 #include<bits/c++.h>
 #define maxx INT_MAX
 #define minn INT_MIN
 #define inf 0x3f3f3f3f

 using namespace std;
 typedef unsigned int ll;
 long long n,size;
 struct Matrix{
     ll mat[][];
     void clear(){
         memset(mat,,sizeof(mat));
     }
     Matrix operator * (const Matrix & m) const{
         Matrix tmp;
         int i ,j,k;
         tmp.clear();
         for( i=;i<=size+;i++)
             for( k=;k<=size+;k++){
                 if(mat[i][k]==) continue;
                 for( j=;j<=size+;j++){
                     tmp.mat[i][j]+=mat[i][k]*m.mat[k][j];
                     //tmp.mat[i][j]%=MOD;
                 }
             }
         return tmp;
     }
 };
 Matrix POW(Matrix m,long long k){
     Matrix ans;
     memset(ans.mat,,sizeof(ans.mat));
     for(int i=;i<=size+;i++) ans.mat[i][i]=;
     while(k){
         if(k&) ans=ans*m;
         k=k>>;
         m=m*m;
     }
     return ans;
 }
 int main() {
      ll tranangle[][]={};
      tranangle[][]=;
      for(int i=;i<;i++){
          tranangle[i][]=;
          for(int j=;j<=i;j++)
              tranangle[i][j]=tranangle[i-][j]+tranangle[i-][j-];
      }
      int T;
      scanf("%d",&T);
     for(int Case=;Case<=T;Case++){
        scanf("%lld%lld",&n,&size);
         Matrix m;
         memset(m.mat,,sizeof(m.mat));
         for(int i=;i<=size;i++){
             for(int j=;j<=size;j++)
                 m.mat[i][j]=tranangle[i][j];
         }
         for(int i=;i<=size;i++)
              m.mat[size+][i]=tranangle[size][i];
         m.mat[size+][size+]=;
         Matrix ans=POW(m,n-);
         ll sum=;
         for(int i=;i<=size+;i++){
             sum+=ans.mat[size+][i];
         }
         printf("Case %d: %lld\n",Case,sum);
     }
     return ;
 }