openjudge666：放苹果—题解

（测试这里的markdown，同时也有纪念意义吧——第一次写的题解）

当时刚学递推的时候做的一道题

oj上的666题

666:放苹果

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描述

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

输入

第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

输出

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

样例输入

1

7 3

样例输出

8

当时学习不精的我看到直到题的时候心中一万匹飞过啊！

好的咱们来认真的说一下这道题

这道题用递推写的话肯定和前几项有关系

什么关系呢？

首先让我们先考虑所有盒子必须装东西的情况

1.所有盒子的其中一个或多个里面只有一个苹果，则苹果数-1，盒子数-1，即dp[i-1][j-1]

2.所有盒子均有超过一个的苹果

然而，因为这道题里面说不可以有重复的方案，所以对于第二个选择，就可以这样想——

将所有的盒子中全部拿出一个来（吃了），盒子数不变

这样做保证了不会有重复的，即dp[i-j][j]（因为最开始的dp[i][j]没有重复方案的话，那么dp[i-j][j]也只是将所有的数字全部-1，不改变原来的每个方案的不重复性，那么dp[i][j]方案数量扣除其中盒子含有一个苹果的情况数量，即等于dp[i-j][j]，从而让状态不断地递归2，最终到达1，从而保证了方案的合法性）

那么我们讨论了盒子至少放一个的情况，那么就有人问了，为什么说这个，题中不是允许空盒子吗？

所以啊，我们只需要将原先苹果的数量加上盒子数，就能保障上述的成立，即每一个盒子里面至少都有一个苹果，那么我们再每个方案的每一个盒子中拿去一个苹果，不就有可能出现空盒子的方案吗？

但是为什么这样写呢，因为第一种的解题思路与大多数的不重复放苹果问题是一类的（例题有很多，比如说数的划分），从上面的思路也很容易推出允许空盒子的方案数了

上代码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[1000][1000]={0};//dp[m][n]
int main()
{
	int t,m,n;
	scanf("%d",&t);
	for(int i=1;i<=t;i++){
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		scanf("%d%d",&m,&n);
		m+=n;
		for(int j=0;j<=m;j++){
			dp[j][j]=1;
			if(j>0)dp[j][1]=1;
		}
		for(int j=1;j<=m;j++){
			for(int k=1;k<=n&&k<=j;k++){
				dp[j][k]=dp[j-1][k-1]+dp[j-k][k];
			}
		}
		printf("%d\n",dp[m][n]);
	}
	return 0;
}