bzoj 4465 游戏中的学问

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Description

大家应该都见过很多人手拉手围着篝火跳舞的场景吧？一般情况下，大家手

拉手跳舞总是会围成一个大圈，每个人的左手拉着旁边朋友的右手，右手拉着另一侧朋友的左手。

不过，如果每一个人都随机的拉住两个不同人的手，然后再慢慢散开，事情

就变得有趣多了——此时大家依旧会形成圈，不过却可能会形成多个独立的圈。

当然这里我们依然要求一个人的右手只能拉另一个人的左手，反之亦然。

班里一共有\(N\)个同学，由\(1\)到\(N\)编号。\(Will\)想知道，究竟有多少种本质不同的拉手方案，使得最终大家散开后恰好形成\(k\)个圈呢？

给定两种方案，若存在一个人和他的一只手，满足在这两种方案中，拉着这只手的人的编号不同，则这两种方案本质不同。

Input

输入一行包含三个正整数\(N\)，\(k\)和\(P\).

\(3<=3k<=N<=3000，10^4<=p<=2×10^9.\)

Output

输出文件的包含一行一个整数，表示本质不同的方案数对\(p\)的余数。保证\(p\)一定是一个质数。

Sample Input

3 1 1000000009

Sample Output

2

Solution

• 这类游戏的套路其实都大同小异...考虑最后一个人的情况\(dp\)即可.
• 就此题而言,设\(f[i][j]\)表示\(i\)个人形成\(j\)个环的方案数目.
• 考虑最后一个人,他可以插入到前面已经有的环里,不形成新的环.
• 前面\(i-1\)个人有\(i-1\)个位置可以插入.
• 方案数为\(f[i-1][j]*(i-1)\).
• 他也可以形成一个新的环,从前面的\(i-1\)个人中选择\(2\)个人和他成环,而这两人在他左右交换算作两次.
• 方案数为\(f[i-3][j-1]*C_{i-1}^2*2.\)
• 需要注意边界条件,显然有\(f[0][0]=1\),还需要注意的是当\(j<\lfloor i/3 \rfloor\)时,因为至少要三个人组成一个环,这种情况的方案数也为\(0\).

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		{
			fh=-1;
			jp=getchar();
		}
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		{
			out=out*10+jp-'0';
			jp=getchar();
		}
	return out*fh;
}
int n,k,P;
inline int add(int a,int b)
{
	return (1LL*a + 1LL*b) % P;
}
inline int mul(int a,int b)
{
	return 1LL * a * b % P;
}
inline int swapC(int x)
{
	return mul(x,x-1);
}
const int MAXN=3e3+110;
int f[MAXN][MAXN];
int dp(int i,int j)
{
	if(f[i][j]!=-1)
		return f[i][j];
	if(i==0 && j==0)
		return 0;
	if(j>(i/3))//注意边界
		return 0;
	int &res=f[i][j];
	res=0;
	res=add(res,mul(dp(i-1,j),i-1));
	res=add(res,mul(dp(i-3,j-1),swapC(i-1)));
	return res;
}
int main()
{
	n=read(),k=read(),P=read();
	for(int i=0;i<=n;++i)
		for(int j=0;j<=k;++j)
			f[i][j]=-1;
	int ans=dp(n,k);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}