包子凑数(dp 0-1、完全背包)【背包问题】

包子凑数（蓝桥杯）

感谢：@ Statusrank

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题目描述

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有N种蒸笼，其中第i种蒸笼恰好能放Ai个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。

每当有顾客想买X个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有X个包子。比如一共有3种蒸笼，分别能放3、4和5个包子。当顾客想买11个包子时，大叔就会选2笼3个的再加1笼5个的（也可能选出1笼3个的再加2笼4个的）。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有3种蒸笼，分别能放4、5和6个包子。而顾客想买7个包子时，大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

第一个例子：

2

4

5

输出：

6

输入

第一行包含一个整数N。(1 <= N <= 100)

以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100)

输出

一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出INF。

样例输入

2

4 

6
样例输出

INF

提示

对于样例1，凑不出的数目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。  

对于样例2，所有奇数都凑不出来，所以有无限多个。

思路：

题目说明了包子笼数假设有无限个 想到是完全背包（所有物品种类数假设有无限个）

补充：

1、0-1背包dp: (每种物品只有1个)

  例题：

有重量分别为16 15 15 的三个物品 其价值分别为 30 25 25 要将他们装进承载重量最大为30的包中 计算最大价值是多少？（用dp解决这个问题）

s[i][j] 表示 遍历第i个物品  剩余背包容量为 j

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int w[5]={16,15,15},v[5]={30,25,25},dp[55][55];
int main()
{
    int n=3,m=30,maxx=-100;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            if(j>=w[i]){
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
            }
            else{
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
            }
            if(dp[i][j]>maxx){  //或者是将判断删去 改为直接最后输出dp[n-1][m];
                maxx=dp[i][j];
            }
        }
    }
    printf("%d\n",maxx);
    return 0;
}

2、完全背包dp：

例题 ：

重量分别为2 4 8 3价值分别为5 9 18 9 的四件物品 每种物品数量有无限个 背包容量为10 计算最大价值：

   · 注意和0-1 背包的区别：

例如：有重量为2的物品, dp[i][2]的时候放了一件了,当dp[i][4]的时候,dp[i][4]=max(dp[i-1][4],dp[i][4-2]+w[i]) 最多放一件

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=105;
int dp[maxn][55];
int w[maxn+5],v[maxn+5];
int n,m;
int main()
{
	int i,j,k;
	while(~scanf("%d %d",&n,&m)){
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		for(i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
		}
		for(i=1;i<=n;i++){
			for(j=0;j<=m;j++){
				if(j>=w[i]){
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);//注意和01背包的区别,这里是
                    dp[i][j-need[i]]+value[i]
				}
				else{
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
				}
			}
		}
		printf("%d\n",dp[n-1][m]);
	}
	return 0;
}

这个题和上面有点差别 没有价格的区别所以我开始就把物品重量当成价值 最后判断背包是否被填满 但是数目大了就会错误 不得不放弃 看了@ Statusrank的讲解才明白我想复杂了   链接（点击）

先遍历每个a[i] 然后将对应的dp值改变

往后再遍历的时候 直接dp[j]=dp[ j-a[i] ]

例如 ：

a1=4,a2=5:前提 令dp[0]=1(下面解释为甚麽)

先遍历4 将 4和其倍数的值变为1 因为dp[j]=dp[ j-a[i] ]

当j=4时 dp[4]=dp[4-a[1]]=dp[0]=1;

再遍历5的时候会将5 的倍数变为1（同理）

同时 当j=9时： dp[9]=dp[9-a[2]]=dp[4]=1; 也会将其他5 和4组成的数的dp赋值为1

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX=1e5;
int dp[MAX+5],a[105];
int main()
{
    int n,count=0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        if(a[i]%2==0){
            count++;
        }
    }
    if(count==n){
        printf("INF\n");
    }
    else{
        count=0;
        dp[0]=1;
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=a[i];j<=MAX+5;j++){
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]]);
            }
        }
        for(int i=1;i<MAX+5;i++){
            if(dp[i]==0){
                count++;
            }
        }
        printf("%d\n",count);
    }
    return 0;
}