bzoj1227 [SDOI2009]虔诚的墓主人(组合公式+离散化+线段树)

1227: [SDOI2009]虔诚的墓主人

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Description

小W 是一片新造公墓的管理人。公墓可以看成一块N×M 的矩形，矩形的每个格点，要么种着一棵常青树，要么是一块还没有归属的墓地。当地的居民都是非常虔诚的基督徒，他们愿意提前为自己找一块合适墓地。为了体现自己对主的真诚，他们希望自己的墓地拥有着较高的虔诚度。一块墓地的虔诚度是指以这块墓地为中心的十字架的数目。一个十字架可以看成中间是墓地，墓地的正上、正下、正左、正右都有恰好k 棵常青树。小W 希望知道他所管理的这片公墓中所有墓地的虔诚度总和是多少

Input

第一行包含两个用空格分隔的正整数N 和M，表示公墓的宽和长，因此这个矩形公墓共有(N+1) ×(M+1)个格点，左下角的坐标为(0, 0)，右上角的坐标为(N, M)。第二行包含一个正整数W，表示公墓中常青树的个数。第三行起共W 行，每行包含两个用空格分隔的非负整数xi和yi，表示一棵常青树的坐标。输入保证没有两棵常青树拥有相同的坐标。最后一行包含一个正整数k，意义如题目所示。

Output

包含一个非负整数，表示这片公墓中所有墓地的虔诚度总和。为了方便起见，答案对2,147,483,648 取模。

Sample Input

5 6
13
0 2
0 3
1 2
1 3
2 0
2 1
2 4
2 5
2 6
3 2
3 3
4 3
5 2
2

Sample Output

6

HINT

图中，以墓地(2, 2)和(2, 3)为中心的十字架各有3个，即它们的虔诚度均为3。其他墓地的虔诚度为0。 对于30%的数据，满足1 ≤ N, M ≤ 1,000。对于60%的数据，满足1 ≤ N, M ≤ 1,000,000。对于100%的数据，满足1 ≤ N, M ≤ 1,000,000,000，0 ≤ xi ≤ N，0 ≤ yi ≤ M，1 ≤ W ≤ 100,000， 1 ≤ k ≤ 10。存在50%的数据，满足1 ≤ k ≤ 2。存在25%的数据，满足1 ≤ W ≤ 10000。

 

【思路】

组合公式+离散化+区间查询&单点修改。

　　　如果设每一个空格左右上下各有的树之数目为left[][],right[][],up[][],down[][]，则答案为

　　　　

　　　考虑到nm很大，这里我们先进行离散化，离散化之后时间复杂度为O(ww)。

考虑y同的两棵相邻的树（中间为空格）且x分别为ab，我们统计夹在中间的空格的分数，则为

　　　　　　

前两项相同，因此只需要统计ab区间内的C之积即可，可以用线段树在O(logn)的时间内完成。

具体操作：

　　　　依次扫描每一棵树：

　　如果与前一棵树同y则累计答案。

　　维护cy表示当前y扫描过的树之数目。

　　   维护cx[]表示x被扫描过的树之数目。

　　　         维护线段树。　

需要注意的是n在线段树中定义为离散后x的最大下标。

【代码】

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
 using namespace std;

 typedef long long LL;
 const int maxn = +;
 const LL MOD = 2147483648LL;
 struct Node{
     int x,y;
     bool operator<(const Node& rhs) const{
         return y<rhs.y || (y==rhs.y && x<rhs.x);
     }
 }nodes[maxn];

 int read() {
     char c=getchar();
     while(!isdigit(c)) c=getchar();
     int x=;
     while(isdigit(c)) {
         x=x*+c-'';
         c=getchar();
     }
     return x;
 }
 //线段树相关
 //+单点修改+区间求和
 LL sumv[*maxn];
 int v; LL d;
 void update(int u,int L,int R) {
     int lc=u*,rc=lc+;
     if(L==R) {
         sumv[u]=d;
     }
     else {
         int M=L+(R-L)/;
         if(v<=M) update(lc,L,M);
         else update(rc,M+,R);
         sumv[u]=sumv[lc]+sumv[rc];
     }
 }
 int y1,y2;
 LL query(int u,int L,int R) {
     int lc=u*,rc=lc+;
     if(y1<=L && R<=y2) {
         return sumv[u];
     }
     else {
         int M=L+(R-L)/;
         LL res=;
         if(y1<=M) res += query(lc,L,M);
         if(M<y2)  res += query(rc,M+,R);
         res %= MOD;
         return res;
     }
 }
 //组合函数相关
 LL C[maxn][];
 void get_C(int n) {
     C[][]=;
     for(int i=;i<=n;i++) {
         C[i][]=C[i][i]=;
         for(int j=;j<=;j++)
             C[i][j]=(C[i-][j]+C[i-][j-])%MOD;
     }
 }

 int cx[maxn],sumx[maxn],sumy[maxn];
 int hash[*maxn],x[maxn],y[maxn];
 int n,m,w,k;

 int main() {
     n=read(),m=read(),w=read();
     get_C(w);
     int p=;
     FOR(i,,w) {
         x[i]=read(),y[i]=read();
         hash[p++]=x[i],hash[p++]=y[i];
     }
     p--;
     k=read();
     //离散化坐标
     sort(hash+,hash+p+);
     p=unique(hash+,hash+p+)-hash; p--;
     n=;
     FOR(i,,w) {
         x[i]=lower_bound(hash+,hash+p+,x[i])-hash;
         y[i]=lower_bound(hash+,hash+p+,y[i])-hash;
         n=max(n,x[i]);                                     //n用于线段树表示最大x下标
         sumx[x[i]]++,sumy[y[i]]++;
         nodes[i]=(Node){x[i],y[i]};
     }
     sort(nodes+,nodes+w+);
     //扫描每一棵树
     LL ans=,cy=;
     FOR(i,,w) {
         int r=nodes[i].x,c=nodes[i].y;
         if(i> && c==nodes[i-].y) {
             y1=nodes[i-].x+,y2=nodes[i].x-;
             if(y1<=y2) ans = (ans+C[cy][k]*C[sumy[c]-cy][k]%MOD*query(,,n)%MOD)%MOD;
             cy++;
         }
         else cy=;

         cx[r]++;
         v=r; d=C[cx[r]][k]*C[sumx[r]-cx[r]][k]%MOD;
         update(,,n);
     }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }