POJ 1664 放苹果 (递推思想)
原题链接:http://poj.org/problem?id=1664
思路:苹果m个,盘子n个。假设 f ( m , n ) 代表 m 个苹果,n个盘子有 f ( m , n ) 种放法。
- 根据 n 和 m 的关系可以进一步分析:
- 特殊的 n = 1 || m = 1 || n = 0 时只有一种方法
当 m < n时,即使苹果每个盘子放一个也没法放满所有盘子,题目允许有的盘子空着不放,所以我们可以将空盘子去掉,即 f ( m , n ) = f ( m , m )
- 当 m >= n时,这时候有两种情况:
- n 个盘子中有一个空盘子,当有空盘子时,f ( m , n ) = f ( m , n - 1 ) ,这时候问题出现了,f ( m , n-1 ) 代表的意思是m个苹果放到n-1个盘子中,那还可能有 2 个或者 n 个空盘子呢,请看 4 。
- n个盘子中没有空盘子,当没有空盘子时也就是说每个盘子中至少有一个苹果,先把所有盘子填满,这时候会剩下 m - n 个苹果,所以现在问题变成了 m - n 个苹果放在 n 个盘子有多少种方法,即 f ( m - n , n )。
解释 m >= n 时最后的疑问:因为 m >= n , 所以 m >= n - 1 必然成立,也就是说 f ( m , n - 1 )这个状态也会面临两种情况,即 m >= n 时的 1 和 2,当面临 i 时可得 f ( m , n - 1 ) = f ( m , n - 2 ),所以有 2 个空盘子的情况是在 1 个空盘子前就解决了,所以现在只需要考虑 1 个空盘子的情况就好了。
- 综上所述,递推关系如下:
要点详解:
- 用函数封装功能是一个好的做法。
- 递推问题的关键有两点,一是结束条件,在数比较小时,结果往往是显而易见的;二是递推式,只要参数逐步递减,问题就解决了。
代码如下:
#include <iostream>
using namespace std;
int apple(int m, int n) {
if (m == 0 || n == 1) return 1;
else if (n > m) return apple(m, m);
else return apple(m-n, n) + apple(m, n-1);
}
int main() {
int t, m, n;
cin >> t;
while (t--) {
cin >> m >> n;
cout << apple(m, n) << endl;
}
return 0;
}
参考链接:POJ 放苹果(递推关系)
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