题解 [APIO2013]道路费用

link

Description

幸福国度可以用 N 个城镇（用 1 到 N 编号）构成的集合来描述，这些城镇 最开始由 M 条双向道路（用 1 到 M 编号）连接。城镇 1 是中央城镇。保证一个 人从城镇 1 出发，经过这些道路，可以到达其他的任何一个城市。这些道路都是 收费道路，道路 i 的使用者必须向道路的主人支付 ci分钱的费用。已知所有的这 些ci是互不相等的。最近有K条新道路建成，这些道路都属于亿万富豪Mr. Greedy。 Mr. Greedy 可以决定每条新道路的费用（费用可以相同），并且他必须在明天宣 布这些费用。

两周以后，幸福国度将举办一个盛况空前的嘉年华！大量的参与者将沿着这 些道路游行并前往中央城镇。共计 pj个参与者将从城镇 j 出发前往中央城镇。这 些人只会沿着一个选出的道路集合前行，并且这些选出的道路将在这件事的前一 天公布。根据一个古老的习俗，这些道路将由幸福国度中最有钱的人选出，也就 是 Mr. Greedy。同样根据这个习俗，Mr. Greedy 选出的这个道路集合必须使所有 选出道路的费用之和最小，并且仍要保证任何人可以从城镇 j 前往城镇 1（因此， 这些选出的道路来自将费用作为相应边边权的“最小生成树”）。如果有多个这样 的道路集合，Mr. Greedy 可以选其中的任何一个，只要满足费用和是最小的。

Mr. Greedy 很明确地知道，他从 K 条新道路中获得的收入不只是与费用有 关。一条道路的收入等于所有经过这条路的人的花费之和。更准确地讲，如果 p 个人经过道路 i，道路 i 产生的收入为 ci p 的积。注意 Mr. Greedy 只能从新道路 收取费用，因为原来的道路都不属于他。

Mr. Greedy 有一个阴谋。他计划通过操纵费用和道路的选择来最大化他的收 入。他希望指定每条新道路的费用（将在明天公布），并且选择嘉年华用的道路 （将在嘉年华的前一天公布），使得他在 K 条新道路的收入最大。注意 Mr. Greedy 仍然需要遵循选出花费之和最小的道路集合的习俗。

你是一个记者，你想揭露他的计划。为了做成这件事，你必须先写一个程序 来确定 Mr. Greedy 可以通过他的阴谋获取多少收入。

\(n\le 10^5,k\le 20,m\le 3\times 10^5\)

Solution

挺有意思的一个题目，写一下题解吧，毕竟自己都是看了题解才做出来的。

可以想到一个 \(2^km\log n\) 的做法，就是我们枚举哪些后加边一定在最小生成树，然后对没有加进最小生成树的边 \((u,v,w)\)，我们将 \(u\to v\) 路径上的所有边的权值都与 \(w\) 取 \(\min\)，那么一条后加边最大可以取到就可以确定了，然后就可以计算贡献了。

考虑缩点。你可以发现的是，假如我们钦定后加边都一定要加入，那么这种情况还能加入的已存在的边一定会在后来取到，所以我们就可以缩点了，缩点之后可能会存在的一开始就有的边就最多只有 \(k\) 条了。然后我们就可以做到 \(\Theta(2^kk^2+m\log m)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Int register int
#define int long long
#define ll long long
#define MAXN 400005

template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T,typename ... Args> inline void read (T &t,Args&... args){read (t);read (args...);}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}
template <typename T> inline void chkmin (T &a,T b){a = min (a,b);}
template <typename T> inline void chkmax (T &a,T b){a = max (a,b);}

int n,m,k,st,p[MAXN];
vector <int> pt,g[MAXN];

struct edge{
	int u,v,w;
	bool operator < (const edge &p)const{return w < p.w;}
}e[MAXN],eg[MAXN];

int t[MAXN],fa[MAXN];
int findSet (int x){return fa[x] == x ? x : fa[x] = findSet (fa[x]);}
void unionSet (int u,int v){fa[findSet (u)] = findSet (v);}

void link (int u,int v){
	g[u].push_back (v),
	g[v].push_back (u);
}

void kruskal (){
	sort (e + 1,e + m + 1);
	for (Int i = 1;i <= m;++ i) t[i] = 0;
	for (Int i = 1;i <= m;++ i) t[i] = (findSet (e[i].u) != findSet (e[i].v)),unionSet (e[i].u,e[i].v);
}

int sum[MAXN],tur[MAXN],dep[MAXN],par[MAXN],mxv[MAXN];
void dfs (int u,int fa){
	par[u] = fa,dep[u] = dep[fa] + 1,sum[u] = p[u];
	for (Int v : g[u]) if (v ^ fa) dfs (v,u),sum[u] += sum[v];
}

void makeit (int u,int v,int w){
	if (dep[u] < dep[v]) swap (u,v);
	while (dep[u] > dep[v]) chkmin (mxv[tur[u]],w),u = par[u];
	while (u ^ v) chkmin (mxv[tur[u]],w),chkmin (mxv[tur[v]],w),u = par[u],v = par[v];
}

signed main(){
	read (n,m,k);
	for (Int i = 1;i <= m;++ i) read (e[i].u,e[i].v,e[i].w);
	for (Int i = 1;i <= k;++ i) read (e[m + i].u,e[m + i].v);
	for (Int i = 1;i <= n;++ i) read (p[i]),fa[i] = i;
	for (Int i = m + 1;i <= m + k;++ i) unionSet (e[i].u,e[i].v);
	kruskal ();
	for (Int i = 1;i <= n;++ i) fa[i] = i;
	for (Int i = 1;i <= m;++ i) if (t[i]) unionSet (e[i].u,e[i].v);
	for (Int i = 1;i <= n;++ i) if (findSet (i) == i) pt.push_back (i);else p[fa[i]] += p[i];
	st = findSet (1);int tot = 0;
	for (Int i = 1;i <= m + k;++ i) e[i].u = findSet (e[i].u),e[i].v = findSet (e[i].v);
	kruskal ();
	for (Int i = 1;i <= m;++ i) if (t[i]) eg[++ tot] = e[i];
	for (Int i = 1;i <= tot;++ i) e[i] = eg[i];
	for (Int i = 1;i <= k;++ i) e[tot + i] = e[m + i];
	m = tot;ll ans = 0;
	for (Int S = 0;S < (1 << k);++ S){
		for (Int u : pt) fa[u] = u,g[u].clear ();
		for (Int i = 1;i <= k;++ i) if (S >> i - 1 & 1) unionSet (e[m + i].u,e[m + i].v);
		kruskal ();
		for (Int i = 1;i <= k;++ i)
			if (S >> i - 1 & 1) link (e[m + i].u,e[m + i].v),t[m + i] = 1;
			else t[m + i] = 0;
		int cnt = 0;
		for (Int i = 1;i <= m + k;++ i) cnt += t[i];
		if (cnt > pt.size() - 1) continue;
		for (Int i = 1;i <= m;++ i) if (t[i]) link (e[i].u,e[i].v);
		dfs (st,0);
		for (Int i = 1;i <= m + k;++ i) if (t[i]){
			int u = e[i].u,v = e[i].v;
			if (dep[v] > dep[u]) tur[v] = i;
			else tur[u] = i;
			if (i > m) mxv[i] = 1e9;
		}
		for (Int i = 1;i <= m;++ i) if (!t[i]) makeit (e[i].u,e[i].v,e[i].w);
		ll res = 0;
		for (Int i = m + 1;i <= m + k;++ i) if (t[i]){
			int u = e[i].u,v = e[i].v;
			res += 1ll * (sum[dep[v] > dep[u] ? v : u]) * mxv[i];
		}
		chkmax (ans,res);
	}
	write (ans),putchar ('\n');
	return 0;
}