题解-Cats Transport

Cats Transport

有 $n$ 个山丘，$m$ 只猫子，$p$ 只铲屎官。第 $i-1$ 个山丘到第 $i$ 个山丘的距离是 $d_i$。第 $i$ 只猫子在山丘 $h_i$ 玩 $t_i$ 时间。每个铲屎官可以选择出发时间，然后从 $1$ 号山丘一直不停地每秒一个单位走到 $n$ 号山丘，领走路上已经玩完的猫。求每只猫都被领走的最小猫子等待时间和。

数据范围：$2\le n\le 10^5$，$1\le m\le 10^5$，$1\le p\le 100$，$1\le d_i\le 10^4$，$1\le h_i\le n$，$0\le t_i\le 10^9$。

可以先预处理一下简化问题：

令 $D_i=\sum_{j=2}^i d_j$。

所以 $1$ 号山丘到 $i$ 号山丘距离为 $D_i$。

令 $T_i=t_i-D_{h_i}$。

所以可以视为所有猫咪都在 $1$ 号山丘，玩完的时间是 $T_i$。

将每只猫咪按 $T_i$ 排序，使 $T_{i-1}\le T_i$（每只猫子只需要 $T_i$ 一个信息即可）。

所以题目就变成了将序列 $T_i$ 分成 $p$ 个子序列，使得每个数与它的子序列中最大的数的差的和最小。

这里的子序列不要求连续，但是很明显在 $T_i$ 有序的情况下，连续更优。

不妨设第 $a$ 个铲屎官领走了第 $j+1\sim i$ 只猫子，即子序列中的最大数为 $T_i$，可以如下 $\texttt{dp}$：

设 $f_{a,i}$ 表示到第 $a$ 个铲屎官领到第 $i$ 只猫子的最小等待时间和。

\[f_{a,i}=\min\{f_{a-1,j}+\sum_{h=j+1}^i(T_i-T_h)\}
\]

优化一下，令 $s_i=\sum_{j=1}^i T_j$：

\[\begin{split}
f_{a,i}=&\min\{f_{a-1,j}+T_i(i-j)-(s_i-s_j)\}\\
f_{a,i}=&f_{a-1,j}+T_i(i-j)-(s_i-s_j)\\
f_{a,i}=&f_{a-1,j}+iT_i-jT_i-s_i+s_j\\
f_{a-1,j}+s_j=&T_i\cdot j+f_{a,i}+s_i-iT_i\\
\end{split}
\\
\begin{cases}
y=f_{a-1,j}+s_j\\
k=T_i\\
x=j\\
b=f_{a,i}+s_i-iT_i\\
\end{cases}
\]

套个斜率优化维护 $\texttt{dp}$ 最小值下凸壳模板即可。

时间复杂度 $\Theta(n+m\log m+mp)$，空间复杂度 $\Theta(n+mp)$。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

//Start

#define re register

#define il inline

#define mk make_pair

#define pb push_back

#define db double

#define lng long long

#define fi first

#define se second

const int inf=0x3f3f3f3f;

const lng INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data

const int N=100000,P=100;

int n,m,p;

lng d[N+7],t[N+7],s[N+7];

//DP

lng f[P+7][N+7];

pair<int,int> lor[P+7];

int q[P+7][N+7];

#define l(x) lor[x].fi

#define r(x) lor[x].se

il db X(re int a,re int j){

	return j;

}

il db Y(re int a,re int j){

	return f[a][j]+s[j];

}

il db slope(re int a,re int k,re int t){

	return (Y(a,k)-Y(a,t))/(X(a,k)-X(a,t));

}

il lng F(re int a,re int i,re int j){

	return f[a-1][j]+t[i]*(i-j)-(s[i]-s[j]);

}

il lng DP(){

	for(re int a=0;a<=p;a++){ //必须初始化

		lor[a]=mk(1,0);

		q[a][++r(a)]=0;

	}

	for(re int a=1;a<=p;a++){

		for(re int i=1;i<=m;i++){

			// printf("(%d,%d)\n",a,i);

			while(l(a-1)<r(a-1)&&slope(a-1,q[a-1][l(a-1)],q[a-1][l(a-1)+1])<=t[i]) l(a-1)++;

			//维护a-1队列递推

			f[a][i]=F(a,i,q[a-1][l(a-1)]);

			while(l(a)<r(a)&&slope(a,q[a][r(a)-1],q[a][r(a)])>=slope(a,q[a][r(a)],i)) r(a)--;

			//维护a队列为递推a+1做准备

			q[a][++r(a)]=i;

		}

	}

	return f[p][m];

}

//Main

int main(){

	scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);

	if(p>=m) return puts("0"),0;

	for(re int i=2,x;i<=n;i++){

		scanf("%d",&x);

		d[i]=d[i-1]+x;

	}

	for(re int i=1,x,y;i<=m;i++){

		scanf("%d%d",&x,&y);

		t[i]=-d[x]+y;

	}

	sort(t+1,t+m+1);

	for(re int i=1;i<=m;i++) s[i]=s[i-1]+t[i];

	printf("%lld\n",DP());

	return 0;

}

祝大家学习愉快！