CodeForces 1327F AND Segments

题意

给三个整数 \(n,k,m\) 和 \(m\) 个限制 \((l_i,r_i,x_i)\)，求有多少个长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 满足：

• 对于 \(1\leq i\leq n\) 有 \(0\leq a_i<2^k\)

• 对于 \(1\leq i\leq m\) 有 \(a_{l_i} \operatorname{and} a_{l_i+1}\operatorname{and}\cdots\operatorname{and} a_{r_i}=x_i\)

对 \(998244353\) 取模。

\(\texttt{Data Range:}1\leq n\leq 5\times 10^5,1\leq k\leq 30,0\leq m\leq 5\times 10^5\)

题解

毒瘤题。

一个非常显然的想法是拆位，所以变成每个位置填 \(0\) 或 \(1\) 然后满足所有条件的限制的方案数，总的方案数就是每一位的方案数乘起来就好了。

如果一段区间限制为 \(1\) 的话那么所有数都必须填 \(1\)，如果限制是 \(0\) 的话那么至少有一个是 \(0\)。

设 \(f_{i,j}\) 表示当前在位置 \(i\)，最后一个 \(0\) 在位置 \(j\) 的方案数，然后你会发现这个东西不好做。

考虑设一个 \(p_i\) 表示 \(i\) 位置前（不包括 \(i\) 位置）第一个 \(0\) 最小能填到哪个位置。

当 \(j<p_i\) 的时候很明显 \(f_{i,j}=0\)。

当 \(p_i\leq j<i\) 的时候，因为 \(i\) 位置没有填，所以 \(f_{i,j}=f_{i-1,j}\)。

当 \(j=i\) 的时候，如果这个位置强制选 \(1\) 的话那么 \(f_{i,j}=0\)，否则枚举一下上一个 \(0\) 的位置得到 \(f_{i,j}=\sum\limits_{k<j}f_{i-1,k}\)。

注意到 \(i\) 这一维可以滚掉，而 \(p_i\) 又是单调不降的，所以可以考虑用一个指针来维护一下满足 \(f_{i,j}\neq 0\) 的最小的 \(j\)。

至于第三种操作，因为当 \(i<j\) 的时候 \(f_{i,j}=0\)，所以可以直接维护当前 \(i\) 的所有 \(f_{i,j}\) 的和即可。

然后处理出哪个位置要强制选 \(1\) 的话可以对 \(1\) 的限制涉及到的区间做区间加，可以差分一下再前缀和一下。

处理 \(p_i\) 可以考虑每个为 \(0\) 的限制 \((l,r,0)\)，记 \(p_{r+1}=l\) 即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int ll;
typedef long long int li;
const ll MAXN=5e5+51,MOD=998244353;
ll n,kk,m,res=1,sum,ptr;
ll l[MAXN],r[MAXN],x[MAXN],pos[MAXN],sel[MAXN],f[MAXN];
inline ll read()
{
    register ll num=0,neg=1;
    register char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-')
    {
        ch=getchar();
    }
    if(ch=='-')
    {
        neg=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        num=(num<<3)+(num<<1)+(ch-'0');
        ch=getchar();
    }
    return num*neg;
}
inline void calc(ll bit)
{
    for(register int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(x[i]&(1<<bit))
        {
            sel[l[i]]++,sel[r[i]+1]--;
        }
        else
        {
            pos[r[i]+1]=max(pos[r[i]+1],l[i]);
        }
    }
    f[0]=sum=1,ptr=0;
    for(register int i=2;i<=n+1;i++)
    {
        sel[i]+=sel[i-1],pos[i]=max(pos[i],pos[i-1]);
    }
    for(register int i=1;i<=n+1;i++)
    {
        for(;ptr<pos[i];sum=(sum-f[ptr]+MOD)%MOD,f[ptr++]=0);
        f[i]=sel[i]?0:sum,sum=(sum+f[i])%MOD;
    }
    res=(li)res*f[n+1]%MOD;
    for(register int i=0;i<=n+1;i++)
    {
        sel[i]=pos[i]=f[i]=0;
    }
}
int main()
{
    n=read(),kk=read(),m=read();
    for(register int i=1;i<=m;i++)
    {
        l[i]=read(),r[i]=read(),x[i]=read();
    }
    for(register int i=0;i<kk;i++)
    {
        calc(i);
    }
    printf("%d\n",res);
}