careercup-高等难度 18.2

18.2 编写一个方法，洗一副牌。要求做到完美洗牌，换言之，这幅牌52！种排列组合出现的概率相同。假设给定一个完美的随机发生器。

解法：假定有个数组，含有n个元素，类似如下：

[1][2][3][4][5]

利用简单构造法，我们不妨先问自己，假定有个方法shuffle(...)对n-1个元素有效，我们可以用它来打乱n个元素的次序吗？当然可以，而且非常容易实现。我们会先打乱前n-1个元素的次序，然后，取出第n个元素，将它和数组中的元素随机交换。就这么简单！递归解法的算法如下：

//lower和highter（含）之间的随机数
int rand(int lower,int highter)
{
    return lower+(int)(random()*(highter-lower+));
}

void shuffleArrayRecursively(int cards[],int i)
{
    if(i==)
        return;
    shuffleArrayRecursively(cards,i-);
    int k=rand(,i);
    int temp=cards[i];
    cards[i]=cards[k];
    cards[k]=temp;
    return;
}

以迭代方式实现的话，这个算法又会是什么样？让我们先考虑，我们要做的是遍历整个数组，对每个元素i，将array[i]与0到i（含）之间的随机数交换。

void suffleArrayInteratively(int cards[],n)
{
    for(int i=;i<n;i++)
    {
        int k=rand(,i);
        int tmp=cards[k];
        cards[k]=cards[i];
        cards[i]=tmp;
    }
}

洗牌问题(shuffle)就如随机取样(random sample)问题，在《计算机程序设计艺术》(volume 2 chapter 3)中得到了详细的讲解，关于该问题的详细探讨可以翻阅该书相应章节。

洗牌问题，顾名思义，就是给你一把牌，让你把它完全打乱，这可以归结成一个数组问题：

给你一个长度为n的数组，要求你将其完全打乱，数组中元素交换跟下标是一一对应的，所以也就可以表述为给你一个有序序列0—n-1，要你将其完全打乱，要求每个元素在任何一个位置出现的概率均为1/n。

洗牌问题是打乱一个有序序列（比如下标有序）的算法与随机取样颇有渊源，算法也与随机取样问题十分相近，如下：

void shuffle(T* arr, int len)

{

for(int i=0; i<len; i++)

{

int idx=rand()%(i+1);

swap(arr[idx], arr[i]);

}

}

算法正确性证明也可以用数学归纳法证明：

待证明问题：对于一个长度为n的数组，经过上述算法处理后，会得到一个随机数组，原数组中每一个元素在任何一个位置的概率均为1/n

证明：算法可以分为两部分：前n-1次执行+最后一次执行

1、当n=1时，idx必为0，所以元素arr[0]在任何一个位置的概率为1/1，命题成立。

2、假设当n=k时，命题成立，即n=k时，原数组中任何一个元素在任何一个位置的概率为1/k。

当n=k+1时，当算法执行完k次时，前k个元素在前k个位置的概率均为1/k，执行最后一步时，前k个元素中任何一个元素被替换到第k+1位置的概率：

(1-(1/k)*(k/k+1)) * (1/k) = 1/k+1

所以，对于前k个元素，它们在k+1的位置上概率为1/k+1，在前面k个位置任何一个位置上的概率为(1-1/(k+1)) * (1/k)=1/(k+1)，对于前k个元素，其在整个数组前k+1个位置上的概率均为1/k+1，

对于第k+1个元素，其在原位置的概率为1-(k/k+1)=1/k+1，在前k个位置任何一个位置的概率为：(k/k+1) * (1/k)=1/k+1，所以对于第k+1个元素，其在整个数组前k+1个位置上的概率也均为1/k+1。

命题得证。

能让我理解的随机洗牌问题。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

问题描述：假设有一个数组，包含n个元素。现在要重新排列这些元素，要求每个元素被放到任何一个位置的概率都相等（即1/n），并且直接在数组上重排（in place），不要生成新的数组。用O(n) 时间、O(1)辅助空间。

算法是非常简单了，当然在给出算法的同时，我们也要证明概率满足题目要求。

先想想如果可以开辟另外一块长度为n的辅助空间时该怎么处理，显然只要对n个元素做n次（不放回的）随机抽取就可以了。先从n个元素中任选一个，放入新空间的第一个位置，然后再从剩下的n-1个元素中任选一个，放入第二个位置，依此类推。

按照同样的方法，但这次不开辟新的存储空间。第一次被选中的元素就要放入这个数组的第一个位置，但这个位置原来已经有别的（也可能就是这个）元素了，这时候只要把原来的元素跟被选中的元素互换一下就可以了。很容易就避免了辅助空间。

我们先假设一个5维数组：1，2，3，4，5。如果第1次随机取到的数是4， 那么我们希望参与第2次随机选取的只有1，2，3，5。既然4已经不用， 我们可以把它和1交换，第2次就只需要从后面4位(2,3,1,5)中随机选取即可。同理， 第2次随机选取的元素和数组中第2个元素交换，然后再从后面3个元素中随机选取元素， 依次类推。

C++实现：

void RandomShuffle(int a[], int n){
    for(int i=; i<n; ++i){
        int j = rand() % (n-i) + i;// 产生i到n-1间的随机数,依次从n个元素，n-1个元素，n-2个元素中取得一个元素。
        Swap(a[i], a[j]);
    }