用分治法实现大数乘法，加法，减法（java实现）

　　大数乘法即多项式乘法问题，求A(x)与B(x)的乘积C(x)，朴素解法的复杂度O(n^2)，基本思想是把多项式A(x)与B(x)写成

A(x)=a*x^m+b
B(x)=c*x^m+d

其中a,b,c,d为x的多项式。
则A(x)*B(x)=(ac)*x^2m+(ad+bc)*x^m+bd
由ad+bc=(a+b)(c+d)-ac-bd
原来的4次乘法和1次加法由3次乘法和2次减法代替，减少了一次乘法操作。
用同样的方法应用到abcd的乘法上。

（以上内容摘自互联网）

以下为用java实现的代码：

 package com.kyy.sf;

 public class BigInteger {

     public BigInteger() {

     }

     // 基本思想是把多项式A(x)与B(x)写成
     // A(x)=a*x^m+b
     // B(x)=c*x^m+d
     // 其中a,b,c,d为x的多项式。
     // 则A(x)*B(x)=(ac)*x^2m+(ad+bc)*x^m+bd
     // 由ad+bc=(a+b)(c+d)-ac-bd
     // 字符串模拟乘法操作

     public static String mut(String x, String y) {
         // deep++;// Console.WriteLine("-" + deep + "-");
         String negative = "";
         // x,y同为正或者同为负
         if ((x.startsWith("-") && y.startsWith("-"))
                 || (!x.startsWith("-") && !y.startsWith("-"))) {
             x = x.replaceAll("-", "");
             y = y.replaceAll("-", "");
             negative = "";
         }// x,y一正一负
         else if ((x.startsWith("-") && !y.startsWith("-"))
                 || (!x.startsWith("-") && y.startsWith("-"))) {
             x = x.replace("-", "");
             y = y.replace("-", "");
             negative = "-";
         }

         // 如果长度都等于于9，直接相乘，返回就行了。
         if (x.length() == 1 && y.length() == 1) {
             // 计算乘积
             int tmp = (Integer.parseInt(x) * Integer.parseInt(y));

             if (tmp == 0) {
                 return tmp + "";
             } else {
                 return negative + tmp;
             }
         }

         // 公式里的abcd
         String a, b, c, d;
         if (x.length() == 1) {
             a = "0";
             b = x;
         } else {
             if (x.length() % 2 != 0) {
                 x = "0" + x;
             }
             a = x.substring(0, x.length() / 2);
             b = x.substring(x.length() / 2);
         }
         if (y.length() == 1) {
             c = "0";
             d = y;
         } else {
             if (y.length() % 2 != 0) {
                 y = "0" + y;
             }
             c = y.substring(0, y.length() / 2);
             d = y.substring(y.length() / 2);
         }
         // 按最大位数取值，以确定补零数目
         int n = x.length() >= y.length() ? x.length() : y.length();

         String t1, t2, t3;
         // 递归调用，根据公式计算出值。
         String ac = mut(a, c);
         String bd = mut(b, d);
         t1 = mut(sub(a, b), sub(d, c));
         t2 = add(add(t1, ac), bd);
         t3 = add(add(Power10(ac, n), Power10(t2, n / 2)), bd).replaceAll("^0+",
                 "");

         if (t3 == "")
             return "0";
         return negative + t3;
     }

     private static String add(String x, String y) {

         if (x.startsWith("-") && !y.startsWith("-")) {
             return sub(y, x.replaceAll("^-", ""));
         } else if (!x.startsWith("-") && y.startsWith("-")) {
             return sub(x, y.replaceAll("^-", ""));
         } else if (x.startsWith("-") && y.startsWith("-")) {
             return "-" + add(x.replaceAll("^-", ""), y.replaceAll("^-", ""));
         }

         if (x.length() > y.length()) {
             y = format(y, x.length(), "0");
         } else {
             x = format(x, y.length(), "0");
         }
         int[] sum = new int[x.length() + 1];

         for (int i = x.length() - 1; i >= 0; i--) {
             int tmpsum = Integer.parseInt(x.charAt(i) + "")
                     + Integer.parseInt(y.charAt(i) + "") + sum[i + 1];
             if (tmpsum >= 10) {
                 sum[i + 1] = tmpsum - 10;
                 sum[i] = 1;// 表示进位
             } else {
                 sum[i + 1] = tmpsum;
             }
         }

         StringBuilder returnvalue = new StringBuilder();

         for (int i : sum) {
             returnvalue.append(i);
         }

         if (sum[0] == 1) {

             return returnvalue.toString();

         } else {
             return returnvalue.replace(0, 1, "").toString();
         }

     }

     // 字符串模拟减法操作
     private static String sub(String x, String y) {

         // x是正数，y也是正数
         int flag = checkBigger(x, y);

         if (flag == 0) {
             return "0";
         } else if (flag == -1) {
             String tmp = y;
             y = x;
             x = tmp;
         }
         // 保证了x>=y
         y = format(y, x.length(), "0");// y补0与x对齐

         int[] difference = new int[x.length()];

         for (int i = x.length() - 1; i >= 0; i--) {

             int tmpdifference;

             tmpdifference = Integer.parseInt(x.charAt(i) + "")
                     - Integer.parseInt(y.charAt(i) + "") + difference[i];

             if (tmpdifference < 0) {

                 tmpdifference += 10;
                 difference[i - 1] = -1;// 表示进位
             }

             difference[i] = tmpdifference;
         }

         StringBuilder returnvalue = new StringBuilder();

         for (int i : difference) {
             returnvalue.append(i);
         }

         String rv = returnvalue.toString().replaceAll("^0+", "");

         if ("".equals(rv)) {
             return "0";
         }

         if (flag == -1) {
             rv = "-" + rv;
         }

         return rv;
     }

     // 比较大小
     private static int checkBigger(String x, String y) {

         if (x.length() > y.length()) {

             return 1;

         } else if (x.length() < y.length()) {

             return -1;

         } else {

             for (int i = 0; i < x.length(); i++) {

                 if (x.charAt(i) > y.charAt(i)) {

                     return 1;

                 } else if (x.charAt(i) < y.charAt(i)) {
                     return -1;
                 }
             }

             return 0;
         }
     }

     //数据前补零
     private static String format(String str, int len, String fu) {

         len = len - str.length();

         for (int i = 0; i < len; i++) {

             str = fu + str;
         }

         return str;

     }

     // 模拟移位
     public static String Power10(String num, int n) {

         for (int i = 0; i < n; i++) {

             num += "0";

         }

         return num;
     }

     public static void main(String[] args) {

         String x = "93859048059849086850986804750894758903278473894578397598475984784857487584758094875890475984955624146039530798877974";
         String y = "224343444859408590475847538946";
         System.out.println(mut(x, y));

         System.out.println(mut("1111111111", "1111111111"));

     }
 }