poj1180

斜率优化dp

据说这题朴素的O(n2)dp也可以A 没试过

朴素的dp不难想：f[i]=min(f[j]+sumtime[i]*sumcost[j+1,i]+c*sumcost[j+1,n]) 稍微解释一下，当选择j+1~i为同一批任务的时候

j+1~n的任务都要额外花费开机的时间

复杂度是O(n2)，有没有更好的方法呢？

我们用t[i]表示前i个任务的总时间，w[i]表示前i个任务的总费用；

方程式即为f[i]=min(f[j]+t[i]*(w[i]-w[j])+c*(w[n]-w[j]));

对于当前阶段i，考虑两个决策j,k, 假定k>j

当决策k优于决策j时，即f[k]+t[i]*(w[i]-w[k])+c*(w[n]-w[k])<=f[j]+t[i]*(w[i]-w[j])+c*(w[n]-w[j])

将常数都放在一边，整理可得

(t[i]+c)(w[k]-w[j])/(f[k]-f[j])>=1

显然f是单调增的，对于两个决策k,j，只要满足这个条件，k就一定优于j

我们考虑将左边设为决策G(k,j);

对于k<j<i

当G(i,j)>G(j,k) j一定不是最优

1 当G(i,j)>=1 时 显然i比j优

2 当G(i,j)<1 时 则G(j,k)<1则 k比j优

所以j可以被舍去

这样我们可以通过单调队列来维护 复杂度O(n)

 var f,t,w:array[..] of int64;
     q:array[..] of longint;
     h,c,i,j,n,r:longint;
 function top(k,j:longint):int64;
   begin
     exit(w[k]-w[j]);
   end;

 function down(k,j:longint):int64;   
   begin
     exit(f[k]-f[j]);
   end;

 begin
   readln(n);
   readln(c);
   for i:= to n do
     readln(t[i],w[i]);
   for i:= to n do
   begin
     t[i]:=t[i]+t[i-];
     w[i]:=w[i]+w[i-];
   end;
   h:=;
   r:=;
   f[]:=;
   for i:= to n do
   begin
     while (h<r) and ((t[i]+c)*top(q[h+],q[h])>=down(q[h+],q[h])) do inc(h); //这里最好写成除法表示
     j:=q[h];
     f[i]:=f[j]+t[i]*(w[i]-w[j])+c*(w[n]-w[j]);
     while (h<r) and (top(i,q[r])*down(q[r],q[r-])>=top(q[r],q[r-])*down(i,q[r])) do dec(r);
     inc(r);
     q[r]:=i;
   end;
   writeln(f[n]);
 end.