【佛山市选2013】JZOJ2020年8月7日提高组T2 树环转换

题目

描述

给定一棵N个节点的树，去掉这棵树的一条边需要消耗值1，为这个图的两个点加上一条边也需要消耗值1。树的节点编号从1开始。在这个问题中，你需要使用最小的消耗值（加边和删边操作）将这棵树转化为环，不允许有重边。

环的定义如下：

该图有N个点，N条边。
每个顶点的度数为2。
任意两点是可达的。

树的定义如下：

该图有N个点，N-1条边。
任意两点是可达的。

数据

对于20%的数据，有1≤N≤10。

对于100%的数据，有1≤N≤1000000。

题解

题意

给出一棵树

每次删边加边的代价都为一

问最小代价将树转成环

分析

看到树呢，很容易（个屁）想到树形DP

但是如果直接设状态的话不好转移

思考：环是什么

不就是一条链再加上一条边吗

一条链是什么

特殊的树呀！

那么就可以设$f[i]$表示以$i$为根的子树转成链的最小代价

如果想去推方程的话，先别急

我们来看一下什么是链

一张丑陋的图

很容易发现

除了第一个和最后一个点

其他节点的度数都为2

那么是不是可以设$f[i][0]$表示根节点$i$转换成链之后是两个端点中的一个的最小代价，$f[i][1]$表示不管$i$的位置的最小代价

放方程：

告知：$S$表示$\sum_\ f[son][1]$，$c$表示儿子的个数，$u,v$是$i$的儿子

$f[i][0]=min\begin{cases}S+2c\\S-(f[u][1]-f[u][0])+2*(c-1)\end{cases}$

$f[i][1]=min\begin{cases}f[i][0]\\S-(f[u][1]-f[u][0]+2*(c-2)\end{cases}$

小小的优化：

对于$u,v$的话，既然要使更小，那么$f[u][1]-f[u][0]$之类的就要最大

记一下最大和次大就可以了

至于解释的话

另外就是

本题卡系统栈！！！

所以你可以打$BFS$或者开人工栈

Code

#include<cstdio>

#include<iostream>

#define inf 99999999

using namespace std;

struct node

{

    int to,next,head;

}a[2000005];

int n,i,x,y,tot,f[1000005][3],d[1000005],father[1000005];

bool b[1000005];

void add(int x,int y)

{

    tot++;

    a[tot].to=y;

    a[tot].next=a[x].head;

    a[x].head=tot;

}

void bfs(int now)

{

    int i,j,h,t,x,mx1,mx2,s,num;

    h=0;

    t=1;

    d[1]=now;

    b[now]=true;

    while (h<t)

    {

        h++;

        for (i=a[d[h]].head;i;i=a[i].next)

        {

            x=a[i].to;

            if (b[x]==false)

            {

                t++;

                d[t]=x;

                b[x]=true;

            }

            else father[d[h]]=x;

        }

    }

    for (j=t;j;j--)

    {

        mx1=mx2=-inf;

        num=s=0;

        for (i=a[d[j]].head;i;i=a[i].next)

        {

            x=a[i].to;

            if (x!=father[d[j]])

            {

                num++;

                s+=f[x][1];

                if (f[x][1]-f[x][0]>mx1)

                {

                    mx2=mx1;

                    mx1=f[x][1]-f[x][0];

                }

                else

                {

                    if (f[x][1]-f[x][0]>mx2) mx2=f[x][1]-f[x][0];

                }

            }

        }

        f[d[j]][0]=min(s+2*num,s-mx1+2*(num-1));

        f[d[j]][1]=min(f[d[j]][0],s-mx1-mx2+2*(num-2));

    }

}

int main()

{

    freopen("T2.in","r",stdin);

    freopen("T2.out","w",stdout);

    scanf("%d",&n);

    for (i=1;i<n;i++)

    {

        scanf("%d%d",&x,&y);

        add(x,y);

        add(y,x);

    }

    bfs(1);

    printf("%d\n",min(f[1][0],f[1][1])+1);

    fclose(stdin);

    fclose(stdout);

    return 0;

}