BZOJ 1013 [JSOI2008]球形空间产生器sphere

1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

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Description

有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

第一行是一个整数，n。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

数据规模：

对于40%的数据，1<=n<=3

对于100%的数据，1<=n<=10

提示：给出两个定义：

1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。

2、 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

Source

题解：

我们设球心为X(x1,x2,...,xn)

假设有两点A(a1,a2,...,an)和B(b1,b2,...,bn)

那么我们可以得到两个方程

(x1-a1)^2+(x2-a2)^2+...+(xn-an)^2=r^2

(x1-b1)^2+(x2-b2)^2+...+(xn-bn)^2=r^2

这些方程都是二次的，无法套用高斯消元

但是我们可以做一些处理 将上面两个方程相减可得

(a1-b1)x1+(a2-b2)x2+...+(an-bn)xn=[ (a1^2-b1^2)+(a2^2-b2^2)+...+(an^2-bn^2) ]/2

r被消掉，n个方程，n个未知数套用高斯消元模板即可

模板套的是黄学长的。。。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #include<cstring>
 #define PAU putchar(' ')
 #define ENT putchar('\n')
 using namespace std;
 inline int read(){
     int x=,sig=;char ch=getchar();
     while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') sig=-;ch=getchar();}
     while(isdigit(ch)) x=*x+ch-'',ch=getchar();
     return x*=sig;
 }
 inline void write(int x){
     if(x==){putchar('');return;}if(x<) putchar('-'),x=-x;
     int len=,buf[];while(x) buf[len++]=x%,x/=;
     for(int i=len-;i>=;i--) putchar(buf[i]+'');return;
 }
 using namespace std;
 const int maxn=+;const double eps=1e-;
 int n;double f[maxn],a[maxn][maxn];
 double sqr(double x){return x*x;}
 void ini(){
     n=read();
     for(int i=;i<=n;i++)scanf("%lf",&f[i]);
     for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=;j<=n;j++){
             double t;
             scanf("%lf",&t);
             a[i][j]=*(t-f[j]);
             a[i][n+]+=sqr(t)-sqr(f[j]);
         }
 }
 bool gauss(){
     int now=,to;
     for(int i=;i<=n;i++){
         for(to=now;to<=n;to++)if(fabs(a[to][i])>eps)break;if(to>n)continue;
         if(to!=now)for(int j=;j<=n+;j++)swap(a[to][j],a[now][j]);
         double t=a[now][i];
         for(int j=;j<=n+;j++)a[now][j]/=t;
         for(int j=;j<=n;j++)if(j!=now){
             t=a[j][i];for(int k=;k<=n+;k++)a[j][k]-=t*a[now][k];
         }now++;
     }
     for(int i=now;i<=n;i++)if(fabs(a[i][n+])>eps)return false;
     return true;
 }
 void init(){
     ini();
     return;
 }
 void work(){
     gauss();
     return;
 }
 void print(){
     for(int i=;i<n;i++)printf("%.3lf ",a[i][n+]);
     printf("%.3lf",a[n][n+]);
     return;
 }
 int main(){
     init();work();print();return ;
 }