HDU 1521 排列组合 （母函数）

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Problem Description

有n种物品，并且知道每种物品的数量。要求从中选出m件物品的排列数。例如有两种物品A,B，并且数量都是1，从中选2件物品，则排列有"AB","BA"两种。

Input

每组输入数据有两行，第一行是二个数n,m(1<=m,n<=10)，表示物品数，第二行有n个数，分别表示这n件物品的数量。

Output

对应每组数据输出排列数。(任何运算不会超出2^31的范围)

Sample Input`

2 2

1 1`

Sample Output

2

首先补充一下母函数的基本知识：

对于某个数列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。母函数主要应用于求解组合数、排列数、递推关系通项公式等。

对于这个多项式乘法：

可以得出的结论有：

1. x的系数是a1,a2,…an的单个组合的全体

2. x^2的系数是a1,a2,…an的两个组合的全体

3. ·······
   
   n .x^n的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体（只有1个）

   进一步可以得到：

   

   我们定义母函数

   对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：
   
   

   称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数。

   第一种例子分析：

   有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？

   考虑用母函数来解决这个问题：

   我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：

   1个1克的砝码可以用函数1+1*x^1表示，

   1个2克的砝码可以用函数1+1*x^2表示，

   1个3克的砝码可以用函数1+1*x^3表示，

   1个4克的砝码可以用函数1+1*x^4表示，

   我们拿1+x^2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示砝码的重量！初始状态时，这里就有一个质量为2的砝码。

   那么前面的1表示什么？按照上面的理解，1其实应该写为：1*x^0,即1代表重量为2的砝码数量为0个。

   所以这里1+1x^2 = 1x^0 + 1x^{2，即表示2克的砝码有两种状态，不取或取，不取则为1x}0，取则为1*x^2

   把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来

   对于1+x^2,讨论x前面的系数的意义？

   这里的系数表示状态数(方案数)

   1+x^{2，也就是1x}0 + 1x^2，也就是上面说的不取2克砝码，此时有1种状态；或者取2克砝码，此时也有1种状态。(分析！)

   所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧？

   几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：

   (1+x)(1+x^2)(1+x3)(1+x^4)

   =(1+x+x^2+x4)(1+x³⁺4+x^7)

   =1 + x + x^2 + 2x^3 + 2x^4 + 2x^5+ 2x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10

   从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）

   例如右端有2^x5 项，即称出5克的方案有2种：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

   故称出6克的方案数有2种，称出10克的方案数有1种 。

   第二种例子分析

   求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：

   大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。
   
   

   以展开后的x^4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案数为4；

   即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

   这里再引出两个概念"整数拆分"和"拆分数"：

   所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。

   整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。

   下面是指数型母函数的定义：

对于上面的问题“假设有8个元素，其中a1重复3次，a2重复2次，a3重复3次。从中取r个组合，求其组合数。”：

（感谢 3Dnn 同学指出，下图的 28/3! 应该改为 26/3!）

本题就是指数型母函数的代表

题目分析

对于给出的n中物品，每种物品的个数给出，求从中取出m件物品构成的排列数

   #include<stdio.h>
   #include<string.h>
   int jc[11]= {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,326880,3268800};
              ///数组用于存储从0到10的阶乘
   int num[12];
   double c1[110],c2[110];
   int main()
   {
       int n,m;
       while(~scanf("%d%d",&n,&m))
       {
           memset(c1,0,sizeof(c1));
           memset(c2,0,sizeof(c2));
           for(int i=1; i<=n; i++)
           {
               scanf("%d",&num[i]);
           }
           for(int i=0; i<=num[1]; i++)
           {
               c1[i]=1.0/jc[i];///计算第一种物品存在不同个数的组合数
           }

           for(int i=2; i<=n; i++)///下面从第二种物品开始
           {
               for(int j=0; j<=m; j++)///目前已经存在的物品数，肯定小于m
               {
                   for(int k=0; k<=num[i]&&k<=m; k++)///要从当前的第i种物品中取出来的个数
                       c2[j+k]+=c1[j]/jc[k];///最终形成的一个排列数
               }
               for(int j=0; j<=m; j++)
               {
                   c1[j]=c2[j];///c1存储的是最终的确定值，c2在刷新计算
                   c2[j]=0;
               }
           }
           printf("%.0lf\n",jc[m]*1.0*c1[m]);

       }
   }