bzoj3156防御准备 斜率优化dp

3156: 防御准备

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Description

 

Input

第一行为一个整数N表示战线的总长度。

第二行N个整数，第i个整数表示在位置i放置守卫塔的花费Ai。

Output

共一个整数，表示最小的战线花费值。

Sample Input

10
2 3 1 5 4 5 6 3 1 2

Sample Output

18

HINT

1<=N<=10^6,1<=Ai<=10^9

Source

Katharon+#1

f[i]=f[j]+(i-j)*i-(sum[i]-sum[j])+a[i]
递推方程式和1096有点类似
sum[i]表示i到1的距离

设k<j && j 优于 k
f[j]+(i-j)*i-(sum[i]-sum[j])+a[i]<=f[k]+(i-k)*i-(sum[i]-sum[k])+a[i]
化简得f[j]-i*j+sum[j]<=f[k]-i*k+sum[k]

证明决策单调性
需要证明 对于 t>i j的决策优于k
即f[j]-t*j+sum[j]<=f[k]-t*k+sum[k]
设t=i+v 代入上式得
f[j]-i*j+sum[j]-v*j<=f[k]-i*k+sum[k]-v*k
-v*j<=-v*k 上式成立 决策单调性得证
证毕

斜率方程式
假设k<j&&j决策优与k
满足f[j]-i*j+sum[j]<=f[k]-i*k+sum[k]
=> f[j]+sum[j]-f[k]-sum[k]<=i*(j-k)
=> (f[j]+sum[j]-f[k]-sum[k])/(j-k)<=i
优化dp即可

 #include<bits/stdc++.h>
 #define N 1000005
 #define ll long long
 using namespace std;
 ll sum[N],f[N];
 int n,q[N],a[N];
 inline char gc(){
     static char s[],*p1,*p2;
     if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,,,stdin);
     if(p1==p2)return EOF;return *p1++;
 }
 inline int read(){
     int x=;char ch=gc();
     while(ch<''||ch>'')ch=gc();
     while(ch<=''&&ch>='')x=x*+ch-'',ch=gc();
     return x;
 }
 ll U(int k,int j){return f[j]+sum[j]-f[k]-sum[k];}
 int D(int k,int j){return j-k;}
 int main(){
     n=read();
     for(register int i=;i<=n;++i){
         a[i]=read();
         sum[i]=sum[i-]+i;
     }
     int h=,t=,j;
     for(register int i=;i<=n;++i){
         while(h<t&&D(q[h],q[h+])*i>=U(q[h],q[h+]))++h;
         j=q[h];f[i]=f[j]+1ll*(i-j)*i-sum[i]+sum[j]+a[i];
         while(h<t&&U(q[t],q[t-])*D(i,q[t])>=U(i,q[t])*D(q[t],q[t-]))--t;
         q[++t]=i;
     }
     printf("%lld\n",f[n]);
     return ;
 }