Loj10222 佳佳的Fibonacci（矩阵乘法）

题面

给定$n,m$，求：

$$

T(n)=\sum_{i=1}^ni\times f_i

$$

其中$f_i$为斐波那契数列的第$i$项

题解

不妨设：

$$

S(n)=\sum_{i=1}^nf_i

$$

则可以设：

$$

P(n)=nS(n)-T(n)=\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)\times f_i

$$

所以有：

$$

P(n+1)=\sum_{i=1}^{n}(n+1-i)\times f_i=\sum_{i=1}^n(n-i)\times f_i+\sum_{i=1}^nf_i\

=\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)\times f_i+0\times f_n+S(n)=P(n)+S(n)

$$

然后就可以用矩阵乘法加速递推了。

#include <cstdio>
#include <cstring>

int n, m;
struct Matrix {
	int a[4][4];
	Matrix() { memset(a, 0, sizeof a); }
	inline int* operator [] (const int &x) { return a[x]; }
	inline Matrix operator * (Matrix &b) const {
		Matrix ret;
		for(int i = 0; i < 4; ++i)
			for(int k = 0; k < 4; ++k)
				for(int j = 0; j < 4; ++j)
					(ret[i][j] += 1ll * a[i][k] * b[k][j] % m) %= m;
		return ret;
	}
} S, T;

int main () {
	scanf("%d%d", &n, &m); int k = n;
	S[0][1] = 1;
	T[0][0] = T[0][1] = T[0][2] = 1;
	T[1][0] = T[1][2] = 1;
	T[2][2] = T[2][3] = 1;
	T[3][3] = 1;
	while(k) {
		if(k & 1) S = S * T;
		T = T * T, k >>= 1;
	}
	printf("%lld\n", (1ll * n * S[0][2] % m + m - S[0][3]) % m);
	return 0;
}