52. leetcode 96. Unique Binary Search Trees

96. Unique Binary Search Trees

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique
BST's.

   1         3     3      2      1

    \       /     /      / \      \

     3     2     1      1   3      2

    /     /       \                 \

   2     1         2                 3

思路：卡特兰数: c(0)=1, c(1)=1, c(2)=2, c(3)=5, c(4)=14…

卡特兰数的递推关系：

令h(0)=1, h(1)=1

h(n)=C(2n,n)/(n+1) ＝（2*n+1)!/(n+1)!*n! (n=0,1,2,...)

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

        h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

以下代码利用的递推关系式：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

注意：使用64位无符号整数（unsigned long long）最高可存储至第33个卡特兰数，再大的则只能用大数来存储了。

class Solution {
public:
    int numTrees(int n)
    {
        unsigned long long catnums[];
        if(n== || n==)
            return ;
        catnums[]=;
        catnums[]=;
        for(int i=;i<=n;i++)
            catnums[i]=catnums[i-]*(*i-)/(i+);
        return catnums[n];
    }
};

其它卡特兰数的应用：

矩阵连乘：P = A₁A₂ ... A_n，一共有几种加括号的方案？h（n-1）

一个足够大的栈的进栈序列为1,2,3,⋯,n时有多少个不同的出栈序列？h（n）

凸多边三角形划分：在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干三角形，给定凸多边形的边数n，求有多少种划分方案？h（n-2）：例：4边形有2种划分方案，5边形有5种，6边形有14种。

求有n+1个叶结点的满二叉树的个数。