Lambert cos 定律再积分无穷级数求和

设有能量为 \(I\) 的一束光射向表面 \(s\)，发生理想的漫反射。设反射率为 \(a\)，则 \(s\) 向在 \(\phi\) 方向反射的能量 \(R\) 可由 Lambert cos 定律给出：

\[R_\varphi=\frac{aI}\pi\cos\varphi\cdot s
\]

在漫反射的全部能量中，位于全反射临界角 \(\varPsi\) 形成的锥体以内的能量可以射出，锥体以外的能量会被全反射。被全反射回来的比例可以积分得出：

\[p=\frac{2\pi\int_\varPsi^{\pi/2}\mathrm d\theta\sin\theta\cos\theta}{2\pi\int_0^{\pi/2}\mathrm d\theta\sin\theta\cos\theta}=\cos^2\varPsi
\]

从而能射出的比例是 \(1-p=\sin^2\varPsi\)。

现在能量 \(I\) 射向表面，反射的总能量为 \(aI\)。其中 \(aI\cos^2\varPsi\) 被全反射，近似认为剩下的 \(aI\sin^2\varPsi\) 全部射出。

全反射的这 \(aI\cos^2\varPsi\) 回到表面上，反射的总能量为 \(a^2I\cos^2\varPsi\)。而其中又有 \(\cos^2\varPsi\) 的比例即 \(a^2I\cos^4\varPsi\) 被全反射，剩下的 \(a^2I\cos^2\varPsi\sin^2\varPsi\) 射出。以此类推，总的出射能量是一个等比数列。

\[\bar R=aI\sin^2\varPsi+aI\cos^2\varPsi\cdot a\sin^2\varPsi+aI\cos^2\varPsi\cdot a\cos^2\varPsi\cdot a\sin^2\varPsi+\cdots
\]

求和得

\[\bar R=\frac{aI\sin^2\varPsi}{1-a\cos^2\varPsi}
\]

根据斯涅尔定律，\(\sin\varPsi=1/n\)。故有

\[\bar R=\cfrac{aI\cfrac1{n^2}}{1-a\left(1-\cfrac1{n^2}\right)}=\frac{aI}{n^2\left(1-a\right)+a}
\]

综上所述，能量为 \(I\) 的光照到干燥表面上反射能量为 \(aI\)，照到湿的表面上反射能量为 \(\dfrac{aI}{n^2\left(1-a\right)+a}\)。可见润湿后反照率降低的比例就是这个 \(n^2\left(1-a\right)+a\)。