【Islands and Bridges】题解

题目

题目描述

给定一些岛屿和一些连接岛屿的桥梁，大家都知道汉密尔顿路是访问每个岛屿一次的路线，在我们这个地图中，每个岛屿有个正整数的权值，表示这个岛屿的观赏价值。假设一共有N个岛屿，用Vi表示岛屿Ci的价值，汉密尔顿路C1C2....Cn的价值是以下三部分的总和：

　　(1)所有岛屿的价值之和；

　　(2)对于路径中相邻的两个岛屿CiCi+1,把两个岛屿的价值之积加到总价值中；

　　(3)路径中连续三个岛屿CiCi+1Ci+2，如果Ci与Ci+2有桥直接相连，则把这三个岛屿价值之积加到总价值中。

　　要求计算汉密尔顿路最大的价值以及方案数。

输入

输入第一行是一个整数Q(Q<=20)，表示测试数据的数量。每个测试数据第一行输入两个整数N和M,分别表示岛屿数和桥梁数，接下来一行包含N个正整数，第i个数表示Vi，每个数不超过100,最后M行，每行两个数X,Y，表示岛X和岛Y之间有一座桥直接相连，桥是双向的，岛屿编号为1到N(N<=13)

输出

对于每个测试数据，输出一行，两个整数，第一个数表示最大价值，第二个数表示方案数，如果不存在汉密尔顿路径，输出“0 0”

注意：一条路径可以反着走，我们认为这两条路径是同一条路径。

样例输入

2
3 3
2 2 2
1 2
2 3
3 1
4 6
1 2 3 4
1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
3 4

样例输出

22 3
69 1

---

分析

对于第一问，因为N<=13，所以我们可以用状态压缩dp，压缩每个点是否走过的状态；当路径中连续三个岛屿CiCi+1Ci+2，Ci与Ci+2有桥直接相连时，就需要知道Ci和Ci+1这两个点。所以dp方程为f[i][j][k],指在状态i的时候，走到了k点，上一个走到的点是j的最大值。dp方程转移为：

f[i+bb[l]][k][l]=max(f[i+bb[l]][k][l],f[i][j][k]+v[k]v[l]+v[l]) **//bb数组存2^i

**f[i+bb[l]][k][l]=max(f[i+bb[l]][k][l],f[i][j][k]+v[k]v[l]+v[j]v[k]v[l]+v[l])//j和l有路径相通

对于第二问，因为要求最大的价值的方案数，所以用g[i][j][k]指在状态i的时候，走到了k点，上一个走到的点是j的最大值的方案数。如果可以转移时但不相等就覆盖答案，只有在可以转移时并且相等才能累加答案。最后统计当价值为最大时的方案数。

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;
long long g[10001][20][20],f[10001][20][20];
long long n,m,e,v[30];
long long bb[30];
bool b[30][30];
int main()
{
	cin>>e;
	long long x,y;
	bb[1]=1;
	int i,j,k,l;
	for(i=2;i<=29;i++)
	  	bb[i]=bb[i-1]*2;
	while(e--)
	{
		scanf("%lld%lld",&n,&m);
		for(i=0;i<=10000;i++)
		    for(j=0;j<=19;j++)
		        for(k=0;k<=19;k++)
		        {
		    		f[i][j][k]=0;
		    		g[i][j][k]=0;
				}
		for(i=0;i<=n;i++)
		    for(j=0;j<=n;j++)
		    {
		        b[i][j]=false;
			}
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%lld",&v[i]);
		}
		for(i=1;i<=m;i++)
		{
			scanf("%lld%lld",&x,&y);
			b[x][y]=b[y][x]=true;
			f[bb[x]+bb[y]][x][y]=f[bb[x]+bb[y]][y][x]=v[x]*v[y]+v[x]+v[y];//初始化f数组
			g[bb[x]+bb[y]][x][y]=g[bb[x]+bb[y]][y][x]=1;//初始化g数组
		}
		for(i=0;i<=bb[n+1]-1;i++)
		{
			for(j=1;j<=n;j++)
				if((bb[j] | i)==i)
					for(k=1;k<=n;k++)
			  			if((bb[k] | i)==i && b[j][k]){if(!g[i][j][k]) continue;
			  				for(l=1;l<=n;l++)
			  			    	if((bb[l] | i)!=i && b[k][l] && b[j][l])//当j和l有路径相同
			  			    	{
			  			        	if(f[i+bb[l]][k][l]==f[i][j][k]+v[k]*v[l]+v[j]*v[k]*v[l]+v[l])
			  			        		g[i+bb[l]][k][l]+=g[i][j][k];
									else
									//当j和l无路径相同
									if(f[i+bb[l]][k][l]<f[i][j][k]+v[k]*v[l]+v[j]*v[k]*v[l]+v[l])
									{
										f[i+bb[l]][k][l]=f[i][j][k]+v[k]*v[l]+v[j]*v[k]*v[l]+v[l];
			  			        		g[i+bb[l]][k][l]=g[i][j][k];
									}
								}
								else
			  			    	if((bb[l] | i)!=i && b[k][l])
			  			    	{
			  			        	if(f[i+bb[l]][k][l]==f[i][j][k]+v[k]*v[l]+v[l])
			  			        		g[i+bb[l]][k][l]+=g[i][j][k];
									else
									if(f[i+bb[l]][k][l]<f[i][j][k]+v[k]*v[l]+v[l])
									{
			  			            	f[i+bb[l]][k][l]=f[i][j][k]+v[k]*v[l]+v[l];
			  			        		g[i+bb[l]][k][l]=g[i][j][k];
									}
								}}
		}
		long long ans=0;
		long long ma=0;
		for(i=1;i<=n;i++)
		    for(j=1;j<=n;j++)
		    {
		    	if(f[bb[n+1]-1][i][j]>ma)
		    	{
		    		ma=f[bb[n+1]-1][i][j];
		    		ans=g[bb[n+1]-1][i][j];
				}
				else
				if(f[bb[n+1]-1][i][j]==ma)
				{
					ans+=g[bb[n+1]-1][i][j];
				}
			}
		if(n==1) cout<<v[1]<<' '<<1<<endl;else
		if(ma==0 || ans==0) cout<<0<<' '<<0<<endl;else
		printf("%lld %lld\n",ma,ans/2);
	}
}