AC自动机——多个kmp匹配

（并不能自动AC）

介绍：

Aho-Corasick automaton，最经典的处理多个模式串的匹配问题。

是kmp和字典树的结合。

精髓与灵魂：

①利用trie处理多个模式串

②引入fail指针。节点x的fail表示，trie中最大的某个前缀等于x到根节点字符串后缀的节点位置。

fail类比于kmp的nxt数组，可以在失配的时候，O（1）找到最大的可能能继续匹配的位置。

所以，ac自动机可看做多个kmp

步骤：（完整代码在下面）

①建trie树。插入模式串。

void ins(char *s){
        int len=strlen(s+);
        int now=;
        for(int i=;i<=len;i++){
            int x=s[i]-'A';
            if(!a[now][x]) a[now][x]=++cnt;
            now=a[now][x];
        }
        exi[now]=;
    }

②trie上建ac自动机。

void build(){
        queue<int>q;
        for(int i=;i<;i++){
            if(a[][i]) fail[a[][i]]=,q.push(a[][i]);
        }
        while(!q.empty()){
            int x=q.front();q.pop();
            exi[x]|=exi[fail[x]];
            for(int i=;i<;i++){
                if(a[x][i]){
                    fail[a[x][i]]=a[fail[x]][i];
                    q.push(a[x][i]);
                }
                else{
                    a[x][i]=a[fail[x]][i];
                }
            }
        }
    }

用bfs来建造，并且，即时转移fail指针。

fail指针的转移正确性：

因为bfs是分层加入元素，而fail至少让字符串长度-1，所以之前的fail[x]的各种信息都处理完毕了。

并且，由于fail的定义，所以能在fail[x][i]往下转移，一定就是最优的。

这里有个小优化：

else{a[x][i]=a[fail[x]][i];}

如果x没有i这个儿子，那么就直接指向它fail指针位置的儿子。

这样子，在之后的if(a[x][i])中，可以直接走一次fail[x]的儿子就可以找到真正的fail[a[x][i]]了。

因为，如果fail没有这个儿子，不加这个优化还要继续跳fail，复杂度没有保证了。

这样，就类似于并查集的路径压缩思想，直接指到最长的有这个儿子的点了。

（语言表达不好，自行画图理解吧。。。）

完整代码：

struct node{
	int a[N*N][26],cnt;
	int fail[N*N];
	bool exi[N*N];
	void init(){
		memset(a,0,sizeof a);memset(exi,0,sizeof exi);
		cnt=0;memset(fail,0,sizeof fail);
	}
	void ins(char *s){
		int len=strlen(s+1);
		int now=0;
		for(int i=1;i<=len;i++){
			int x=s[i]-'A';
			if(!a[now][x]) a[now][x]=++cnt;
			now=a[now][x];
		}
		exi[now]=1;
	}
	void build(){
		queue<int>q;
		for(int i=0;i<26;i++){
			if(a[0][i]) fail[a[0][i]]=0,q.push(a[0][i]);
		}
		while(!q.empty()){
			int x=q.front();q.pop();
			exi[x]|=exi[fail[x]];
			for(int i=0;i<26;i++){
				if(a[x][i]){
					fail[a[x][i]]=a[fail[x]][i];
					q.push(a[x][i]);
				}
				else{
					a[x][i]=a[fail[x]][i];
				}
			}
		}
	}
}ac;

另外，我们ac自动机上节点上，也可以加上其他的标记。

例题：

[JSOI2007]文本生成器

Description：

给n个模式串，求有多少个长度为m的文章，至少包含一个模式串

Solution：

Ac自动机的标志很明显，多个模式串，一个主串。

Ac自动机dp的状态很套路，一般就是匹配到j位置，怎么怎么样。。

设f[i][j]，前i个字符，匹配到AC自动机的j位置，没出现一个模式串的方案数。（最后总方案-没出现一个方案，差分）

每个点有一个exi布尔数组，表示匹配到这个点，这个点所代表的前缀（可以是一个完整模式串）是否已经包含了至少一个模式串。

插入的时候，末尾exi=1，bfs的时候，exi[x]|=exi[fail[x]]即可。正确性同bfs分层图性质。

然后判断，直接转移就好了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=+;
const int mod=;
struct node{
    int a[N*N][],cnt;
    int fail[N*N];
    bool exi[N*N];
    void init(){
        memset(a,,sizeof a);memset(exi,,sizeof exi);
        cnt=;memset(fail,,sizeof fail);
    }
    void ins(char *s){
        int len=strlen(s+);
        int now=;
        for(int i=;i<=len;i++){
            int x=s[i]-'A';
            if(!a[now][x]) a[now][x]=++cnt;
            now=a[now][x];
        }
        exi[now]=;
    }
    void build(){
        queue<int>q;
        for(int i=;i<;i++){
            if(a[][i]) fail[a[][i]]=,q.push(a[][i]);
        }
        while(!q.empty()){
            int x=q.front();q.pop();
            exi[x]|=exi[fail[x]];
            for(int i=;i<;i++){
                if(a[x][i]){
                    fail[a[x][i]]=a[fail[x]][i];
                    q.push(a[x][i]);
                }
                else{
                    a[x][i]=a[fail[x]][i];
                }
            }
        }
    }
}ac;
int n,m;
int f[N][N*N];
char s[N];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=;i<=n;i++){
        scanf("%s",s+);
        ac.ins(s);
    }
    ac.build();
    int tot=ac.cnt;
    f[][]=;
    for(int i=;i<=m-;i++){
        for(int j=;j<=tot;j++){
            if(!ac.exi[j]){
                for(int k=;k<;k++){
                    if(!ac.exi[ac.a[j][k]]){
                        f[i+][ac.a[j][k]]=(f[i+][ac.a[j][k]]+f[i][j])%mod;
                    }
                }
            }
        }
    }
    long long ans=;
    for(int i=;i<=m;i++){
        ans=(ans*)%mod;
    }
    for(int i=;i<=tot;i++){
        if(!ac.exi[i]){
            ans=(ans-f[m][i]+mod)%mod;
        }
    }
    printf("%lld",ans);
    return ;
}

为什么要记录AC自动机上匹配到的状态呢？

因为，单纯记录这一位是哪个字符肯定不能判断是否包含。

而AC自动机本身的fail，就蕴含了所有的可能包含的位置。只要不断跳fail即可。

相当于该状态已经包罗万象。

因为fail的定义，也不会包含更多，不会包含更少。

所以对于匹配问题再适合不过了。

AC自动机dp出题人出烦了之后，

就开始出一些涉及AC自动机形态的题目，更贴近算法本身。

基本开刀处都是fail指针（AC自动机的精髓嘛）

[POI2000]病毒

这是一个利用fail指针构可能可以和trie树构成环的特性。从而构造出无限长的串。

[NOI2011]阿狸的打字机——AC自动机之fail树的利用

这个题目恰好相反，把fail树和trie树都利用起来，并且离线处理。

这两个题目都是值得思考总结的。都利用了fail的性质，但是都没有直接使用fail指针。妙哉！