【洛谷P1471】方差

题目大意：维护一个有 N 个元素的序列，支持以下操作：区间加，区间询问均值，区间询问方差。

题解：可知区间均值和区间和有关，即：维护区间和就等于维护了区间均值。区间方差表达式为 $$\frac{\Sigma_{i=1}^n(a[i]-aver)2}{n}$$，化简之后可知还需维护区间的平方和。

这道题说明了，对于线段树来说，维护的东西并不一定直接是需要维护的东西，可以维护一些间接的信息，最后综合到一起计算得到需要维护的答案。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;

int n,q;
double a[maxn];

struct node{int lc,rc;double tag,sum,sum2;};
struct segment_tree{
	#define ls t[k].lc
	#define rs t[k].rc
	node t[maxn<<1];
	int tot;
	segment_tree():tot(1){memset(t,0,sizeof(t));}
	inline void pushup(int k){
		t[k].sum=t[ls].sum+t[rs].sum;
		t[k].sum2=t[ls].sum2+t[rs].sum2;
	}
	inline void pushdown(int k,int l,int r){
		int mid=l+r>>1;
		t[ls].sum2+=(mid-l+1)*t[k].tag*t[k].tag+2*t[k].tag*t[ls].sum;
		t[ls].sum+=(mid-l+1)*t[k].tag;
		t[ls].tag+=t[k].tag;
		t[rs].sum2+=(r-mid)*t[k].tag*t[k].tag+2*t[k].tag*t[rs].sum;
		t[rs].sum+=(r-mid)*t[k].tag;
		t[rs].tag+=t[k].tag;
		t[k].tag=0;
	}
	void build(int k,int l,int r){
		if(l==r){t[k].sum=a[l],t[k].sum2=a[l]*a[l];return;}
		int mid=l+r>>1;
		ls=++tot,build(ls,l,mid);
		rs=++tot,build(rs,mid+1,r);
		pushup(k);
	}
	void modify(int k,int l,int r,int x,int y,double val){
		if(l==x&&r==y){
			t[k].sum2+=2*val*t[k].sum+(r-l+1)*val*val;
			t[k].sum+=(r-l+1)*val;
			t[k].tag+=val;
			return;
		}
		int mid=l+r>>1;
		pushdown(k,l,r);
		if(y<=mid)modify(ls,l,mid,x,y,val);
		else if(x>mid)modify(rs,mid+1,r,x,y,val);
		else modify(ls,l,mid,x,mid,val),modify(rs,mid+1,r,mid+1,y,val);
		pushup(k);
	}
	double query1(int k,int l,int r,int x,int y){
		if(l==x&&r==y)return t[k].sum;
		int mid=l+r>>1;
		pushdown(k,l,r);
		if(y<=mid)return query1(ls,l,mid,x,y);
		else if(x>mid)return query1(rs,mid+1,r,x,y);
		else return query1(ls,l,mid,x,mid)+query1(rs,mid+1,r,mid+1,y);
	}
	double query2(int k,int l,int r,int x,int y){
		if(l==x&&r==y)return t[k].sum2;
		int mid=l+r>>1;
		pushdown(k,l,r);
		if(y<=mid)return query2(ls,l,mid,x,y);
		else if(x>mid)return query2(rs,mid+1,r,x,y);
		else return query2(ls,l,mid,x,mid)+query2(rs,mid+1,r,mid+1,y);
	}
	double mean(int l,int r){return this->query1(1,1,n,l,r)/(r-l+1);}
	double var(int l,int r){
		double tmp=this->mean(l,r);
		double tmp2=this->query2(1,1,n,l,r);
		return tmp2/(r-l+1)-tmp*tmp;
	}
}sgt;

void read_and_parse(){
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&a[i]);
	sgt.build(1,1,n);
}

void solve(){
	int opt,x,y;
	double k;
	while(q--){
		scanf("%d",&opt);
		if(opt==1){
			scanf("%d%d%lf",&x,&y,&k);
			sgt.modify(1,1,n,x,y,k);
		}else if(opt==2){
			scanf("%d%d",&x,&y);
			printf("%.4lf\n",sgt.mean(x,y));
		}else if(opt==3){
			scanf("%d%d",&x,&y);
			printf("%.4lf\n",sgt.var(x,y));
		}
	}
}

int main(){
	read_and_parse();
	solve();
	return 0;
}